Primi supersingolari

In matematica, in particolare in teoria algebrica dei numeri, un numero primo ${\displaystyle p}$ è detto supersingolare per una curva ellittica ${\displaystyle E}$ definita sui numeri razionali se la riduzione di ${\displaystyle E}$ modulo ${\displaystyle p}$ è una curva ellittica supersingolare sul campo finito ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$.

Più in generale, se ${\displaystyle K}$ è un qualsiasi campo globale, cioè un'estensione finita di ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ o di ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t)}$, e se ${\displaystyle A}$ è una varietà abeliana definita su ${\displaystyle K}$, allora un primo supersingolare ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ per ${\displaystyle A}$ è un posto finito di ${\displaystyle K}$ tale che la riduzione di ${\displaystyle A}$ modulo ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ è una varietà abeliana supersingolare.

Alternativamente, il termine primo supersingolare è usato per un divisore primo dell'ordine del gruppo mostro ${\displaystyle M}$, il più grande dei gruppi eccezionali semplici. In questo caso ci sono precisamente 15 primi supersingolari: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59, e 71.

Sebbene queste due definizioni siano sicuramente distinte (la prima è relativa a una particolare curva ellittica, mentre la seconda no), esse sono relazionate. Infatti, per un numero primo ${\displaystyle p}$, le seguenti affermazioni sono equivalenti:

(i) La curva modulare ${\displaystyle X_{0}^{+}(p)}$ ha genere zero.

(ii) Ogni curva ellittica supersingolare di caratteristica ${\displaystyle p}$ può essere definita sopra il sottocampo del primo ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$.

(iii) L'ordine del gruppo mostro è divisibile per ${\displaystyle p}$.

L'equivalenza è dovuta a Andrew Ogg. Più precisamente, nel 1975 Ogg mostrò che i numeri primi che soddisfano (i) sono esattamente i 15 primi elencati sopra e in breve intuì dell'esistenza di un gruppo eccezionale semplice avente esattamente questi numeri primi come divisori. Questa strana coincidenza diede avvio alla teoria del Monstrous Moonshine.

• (EN) Eric W. Weisstein, Primi supersingolari, in MathWorld, Wolfram Research.
• Joseph H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer, 1986.
• Ogg, A. P. "Modular Functions." In The Santa Cruz Conference on Finite Groups. Held at the University of California, Santa Cruz, Calif., June 25-July 20, 1979 (Ed. B. Cooperstein and G. Mason). Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 521–532, 1980.

• Gruppo mostro
• Curva ellittica
• Curva modulare
• Matrice di Hasse-Witt

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