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In matematica, il principio di fase stazionaria è un principio di base dell'analisi asintotica, applicata agli integrali oscillatori:
![{\displaystyle I(k)=\int _{a}^{b}g(x)e^{ikf(x)}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b883b1e30886d93f909ef76bb3f6dde38a27a2)
in cui
e
. Fu introdotto da Lord Kelvin nel 1877.
Ipotesi
;
è un numero intero, reale e tendente ad infinito;
e
sono due funzioni reali, continue e lisce (cioè
)
;
Risultati
- Se
non possiede punti stazionari su
, integrando per parti si ottiene:
![{\displaystyle I(k)\cong {\frac {g(b)}{ikf'(b)}}e^{ikf(b)}-{\frac {g(a)}{ikf'(a)}}e^{ikf(a)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6beeec4604a8977422e8ca74edab8dd55db81e1a)
- Se
è stazionario in un unico punto ![{\displaystyle a<x_{0}<b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed94c3264db39059ce7e9616b25941bbb053776b)
![{\displaystyle I(k)\cong g(x_{0}){\sqrt {\frac {2\pi }{k\left|{f''(x_{0})}\right|}}}e^{i\left[kf(x_{0})\pm {\frac {\pi }{4}}f''(x_{0})\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e9aabbeba83dcdbf82c92971ca465c69f104452)
- Se
possiede un solo punto stazionario corrispondente al limite inferiore dell'integrale ![{\displaystyle x_{0}=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90490911c631400e3be106821aa5bcbc1b1b8133)
![{\displaystyle I(k)\cong {\frac {g(b)}{ikf'(b)}}e^{ikf(b)}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2\pi }{k|f''(x_{0})|}}}g(x_{0})e^{ikf(x_{0})}e^{i\pm {\frac {\pi }{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59cd43b9375cf2e8709212b49f1053d70ba8f455)
- Se
possiede un solo punto stazionario corrispondente al limite superiore dell'integrale ![{\displaystyle x_{0}=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60076a599cd004c813ddc713c2a25e714b151fea)
![{\displaystyle I(k)\cong -{\frac {g(a)}{ikf'(a)}}e^{ikf(a)}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2\pi }{k|f''(x_{0})|}}}g(x_{0})e^{ikf(x_{0})}e^{i\pm {\frac {\pi }{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a28ad0ddfef12c3d844dd701c26bf64f82382838)
Bibliografia
- Lord Kelvin (1887) Philosophical Magazine 23 p. 252; Proceedings of the Royal Society 83 p. 80.
- Bleistein, N. and Handelsman, R. (1975), Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, New York.
- E.T. Copson, Asymptotic Expansions, Cambridge University Press, 1965.
Voci correlate
Collegamenti esterni
- M. Garbey e H. G. Kaper Asymptotic analysis: Working Note No. 2, Approximation of integrals Rapporto ANL/MCS-TM-180 (1993)
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