Problema di Galois inverso

In matematica, il problema di Galois inverso consiste nel determinare quali gruppi G siano gruppi di Galois di qualche estensione di Galois di un fissato campo F (se questa estensione esiste, si dice che G è realizzabile su F). Sebbene studiato da almeno un secolo, ad oggi (gennaio 2021) tale problema non è ancora risolto nella sua generalità.

La congettura principale in questo campo è che ogni gruppo finito sia il gruppo di Galois di qualche polinomio a coefficienti razionali.

È detto problema inverso in relazione al problema "usuale" della teoria di Galois, che richiede di determinare il gruppo di Galois di una data estensione di campi.

Sono noti diversi risultati al problema in casi particolari.

Il problema di Galois inverso è in particolare completamente risolto per i campi finiti: infatti il gruppo di Galois di ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$ su ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ è sempre ciclico, generato dall'automorfismo di Frobenius, e quindi anche il gruppo di Galois di ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$ su ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{m}}}$ (che, per il teorema fondamentale della teoria di Galois, è un suo quoziente) è ciclico.

Leopold Kronecker ha dimostrato che ogni gruppo abeliano è il gruppo di Galois di qualche estensione del campo dei razionali ${\displaystyle \mathbb {Q} }$; la sua dimostrazione in realtà ne fornisce anche una costruzione esplicita, a partire dalle proprietà degli ampliamenti generati dai polinomi ciclotomici e sfruttando il teorema di Dirichlet sull'esistenza di infiniti numeri primi nelle progressioni aritmetiche e la classificazione dei gruppi abeliani finiti.

Secondo questo infatti, un gruppo abeliano è isomorfo ad un prodotto diretto di gruppi ciclici, ognuno dei quali può essere realizzato come gruppo di Galois di un'estensione contenuta in un ${\displaystyle \mathbb {Q} (\xi _{p})}$ (dove quest'ultima è una radice dell'unità), dove p è un primo congruo a 1 modulo n (con n ordine del gruppo che andiamo a considerare). L'esistenza di infiniti numeri primi congrui a 1 modulo t per ogni t garantisce la possibilità di scegliere per ogni fattore un primo distinto; il campo cercato sarà allora il più piccolo campo (cioè il composto) di tutti i campi trovati a partire dai fattori.

Il teorema di irriducilità di Hilbert (dimostrato da David Hilbert) implica che per realizzare un gruppo di Galois sui razionali è sufficiente realizzarlo su un campo ${\displaystyle \mathbb {Q} (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$. Questo ha portato alla dimostrazione che i gruppi simmetrici e i gruppi alterni sono gruppi di Galois su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Tutti i gruppi semplici, ad eccezione del gruppo di Mathieu M₂₃, sono stati realizzati come gruppi di Galois su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.^[1]

Nel 1954 Igor' Šafarevič ha dimostrato con metodi della teoria dei numeri che tutti i gruppi risolubili sono gruppi di Galois di un'estensione dei razionali.

Eliminando la richiesta di realizzare il gruppo su un campo fissato, il problema diventa semplice da risolvere: infatti il gruppo di Galois del campo delle funzioni razionali ${\displaystyle K=F(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$ sul campo delle funzioni simmetriche ${\displaystyle F(\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{n})}$ è il gruppo simmetrico S_n, e per il teorema di Cayley ogni gruppo finito è isomorfo ad un sottogruppo G di un gruppo simmetrico; quindi per il teorema fondamentale della teoria di Galois il gruppo di Galois di K sul campo fisso K^G è isomorfo a G.

• Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.

• (EN) Helmut Völklein, Bullettin of the American Mathematical Society, vol. 38, n. 2, 27 dicembre 2000, pp. 235-243, http://www.ams.org/bull/2001-38-02/S0273-0979-00-00898-3/S0273-0979-00-00898-3.pdf Titolo mancante per url url (aiuto). URL consultato il 30 maggio 2009.