Punto di equilibrio
Un punto di equilibrio di un sistema dinamico è un punto in corrispondenza del quale l'evoluzione del sistema è stazionaria.
Dato un sistema autonomo , il vettore è un punto di equilibrio se . In tal caso la funzione è una soluzione (stazionaria) per ogni . Le soluzioni stazionarie sono tutti e soli i punti di equilibrio dell'equazione, la cui ricerca coincide quindi con il trovare gli zeri del campo vettoriale .
Definizione
Se il sistema dinamico è determinato da una equazione differenziale (o un sistema di equazioni):
un punto di equilibrio è un punto tale che per ogni . Questa condizione implica infatti che:
da cui, integrando, si ottiene indipendentemente dal tempo , ovvero il sistema tende a rimanere immutato alle condizioni descritte dal punto . Di particolare interesse è lo studio delle derivate (o la jacobiana) di in corrispondenza dei punti di equilibrio, poiché fornisce diverse informazioni sul comportamento locale della soluzione.
Se il sistema dinamico è determinato da un'equazione di ricorrenza:
allora un punto di equilibrio è un punto che sia un punto fisso delle mappe , ovvero tale che per ogni n.
Stabilità
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I punti di equilibrio possono essere classificati linearizzando l'equazione, e osservando il segno degli autovalori della matrice jacobiana (relativa al sistema linearizzato) valutata nel punto di equilibrio.
Un punto di equilibrio è iperbolico se nessuno degli autovalori ha parte reale nulla. Se tutti gli autovalori hanno parte reale negativa il punto di equilibrio è stabile, mentre se almeno un autovalore ha parte reale positiva l'equilibrio è instabile. Infine, se ci sono almeno un autovalore che ha parte reale positiva e uno che ha parte reale negativa, il punto è un punto di sella.
Voci correlate
- Criterio di Dirichlet-Lagrange
- Punto critico (matematica)
- Punto di equilibrio iperbolico
- Punto di sella
- Punto fisso
- Stabilità interna
- Varietà stabile
Altri progetti
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Collegamenti esterni
- Antonio Giorgilli - Equilibri e stabilità (PDF), su mat.unimi.it.
- (EN) Jason Frank - Equilibrium Points and Fixed Points (PDF), su staff.science.uu.nl.
- (EN) Norman Lebovitz - Equilibrium Points (PDF), su people.cs.uchicago.edu.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Crystal128-kmplot.svg/25px-Crystal128-kmplot.svg.png)