Punto periodico

In matematica, un punto periodico con periodo ${\displaystyle n}$ di una funzione ${\displaystyle f}$ è un punto ${\displaystyle x_{0}}$ del dominio di ${\displaystyle f}$ in cui si verifica:

${\displaystyle f^{n}(x_{0})=x_{0}}$

dove ${\displaystyle f^{n}}$ è definita ricorsivamente da:

${\displaystyle f^{0}(x)=x\qquad f^{n}(x)=f(f^{n-1}(x))}$

Il più piccolo ${\displaystyle n}$ per cui ${\displaystyle x_{0}}$ è un punto periodico è detto periodo primitivo o periodo minimo. Se tutti i punti del dominio di una funzione sono periodici con il medesimo periodo ${\displaystyle n}$, si sta considerando una funzione periodica di periodo ${\displaystyle n}$. Un punto fisso è un punto periodico con periodo primitivo 1.

Nello studio dei sistemi dinamici, ogni punto di un'orbita periodica è un punto periodico per l'orbita.

Un punto periodico di un sistema dinamico è un punto di una traiettoria periodica (chiusa) non costante percorsa dal sistema dinamico. Ovvero, dato un sistema dinamico reale ${\displaystyle (\mathbb {R} ,X,\Phi )}$, con ${\displaystyle X}$ lo spazio delle fasi e ${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} \times X\to X}$ la sua evoluzione, un punto ${\displaystyle x\in X}$ è periodico con periodo ${\displaystyle T}$ se:

${\displaystyle \Phi (t+T,x)=\Phi (t,x)}$

${\displaystyle \Phi (t+t',x)\neq \Phi (t,x)\qquad 0<t'<T}$

Se ${\displaystyle x}$ è un punto periodico il relativo insieme limite coincide con la traiettoria periodica alla quale ${\displaystyle x}$ appartiene.

Se ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ è una funzione differenziabile, un punto fisso ${\displaystyle x}$ è detto iperbolico se la matrice jacobiana di ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x}$ non ha autovalori di modulo 0 o 1. Un punto periodico di periodo ${\displaystyle n}$ è detto punto periodico iperbolico se è un punto fisso iperbolico per ${\displaystyle f}$.^[1]

Se ogni autovalore ${\displaystyle \lambda }$ della jacobiana di ${\displaystyle f}$ calcolata in un punto periodico iperbolico ${\displaystyle x}$ soddisfa ${\displaystyle 0<|\lambda |<1}$ allora ${\displaystyle x}$ è detto "pozzo" o attrattore; se ogni autovalore ${\displaystyle \lambda }$ della jacobiana di ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x}$ soddisfa ${\displaystyle |\lambda |>1}$ allora ${\displaystyle x}$ è chiamato "sorgente", altrimenti è un punto di sella.

• (EN) L. Markus, Lectures in differentiable dynamics , Amer. Math. Soc. (1980) pp. Appendix II MR0309152 Zbl 0214.50701
• (EN) D.A. Neumann, "Existence of periodic orbits on 2-manifolds" J. Differential Eq. , 27 (1987) pp. 313–319 MR0482857 Zbl 0337.34041
• (EN) P.H. Rabinowitz; A. Ambrosetti; I. Ekeland; E.J. Zehnder, Periodic solutions of Hamiltonian systems and related topics , Proc. NATO Adv. Res. Workshop, 1986 , Reidel (1987)

• Ciclo limite
• Orbita (matematica)
• Funzione periodica
• Punto fisso
• Sistema dinamico
• Teorema di Sharkovsky

• (EN) Eric W. Weisstein, Punto periodico, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Punto periodico, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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