Rappresentazione simplettica
Nel settore della matematica della teoria delle rappresentazione dei gruppi, una rappresentazione simplettica è una rappresentazione di un gruppo o di un'algebra di Lie su uno spazio vettoriale simplettico (V, ω) che conserva la forma simplettica ω. Dove ω è una forma bilineare simplettica
dove F è il campo scalare. Una rappresentazione di un gruppo G conserva ω se:
per tutti i g in G e i v, w in V, mentre una rappresentazione di un'algebra di Lie g preserva ω se:
per tutti gli ξ in g e i v, w in V. Così una rappresentazione di G (o di g) è un omomorfismo fra G (o algebra di Lie g) e un gruppo simplettico Sp (V, ω) (o la sua algebra di Lie Sp (V, ω))
Fissata una base, si può rappresentare secondo una matrice di trasformazione che dovrà essere necessariamente antisimmetrica e non singolare. La dimensione dello spazio è necessariamente pari perché si dimostra che non esistono matrici antisimmetriche invertibili di dimensione dispari.
Spazio vettoriale simplettico
In algebra lineare, si chiama spazio vettoriale simplettico uno spazio vettoriale reale di dimensione pari dotato di una funzione tale che, per ogni in e per ogni in
- per ogni implica
In altre parole, è una forma bilineare antisimmetrica non degenere, detta prodotto antiscalare o simplettico. munito della forma si dice anche munito di struttura simplettica.
Fissata una base, si può rappresentare secondo una matrice di trasformazione che dovrà essere necessariamente antisimmetrica e non singolare.
Bibliografia
- Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See chapter 3.
- Dusa McDuff and D. Salamon: Introduction to Symplectic Topology (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.
Voci correlate
- Matrice simplettica
- Matrice ortogonale
- Matrice unitaria
- Meccanica hamiltoniana
- Gruppo simplettico
- Spazio vettoriale simplettico
- Trasformazione canonica
- Varietà simplettica
Collegamenti esterni
- Introduzione alla geometria simplettica (PDF), su alpha01.dm.unito.it. URL consultato il 29 aprile 2010 (archiviato dall'url originale il 21 settembre 2006).
- Strutture di Poisson e strutture complesse (PDF), su caressa.it.