Risultante (polinomi)
In matematica, il risultante di due polinomi e , con coefficienti dei monomi di grado massimo e rispettivamente, è definito come il prodotto
delle differenze tra le loro radici in una chiusura algebrica di , considerate con le loro molteplicità come radici dei polinomi, e di opportune potenze dei coefficienti e .
Aspetti computazionali
- Per un fissato polinomio , il prodotto di sopra può essere riscritto come
- e quindi dipende polinomialmente dai coefficienti di . Un altro modo per vedere ciò è di osservare che dipende polinomialmente (con coefficienti interi) dalle radici di e , ed è invariante per qualunque permutazione di tali radici.
- Più concretamente, il risultante è il determinante della matrice di Sylvester associata a e .
- L'espressione
- non cambia se è ridotto modulo .
- Sia . Allora l'idea di sopra può essere iterata scambiando i ruoli di e . Il risultante può pertanto essere calcolato tramite una variante dell'algoritmo di Euclide.
Proprietà
- Poiché il risultante è un polinomio a coefficienti interi nei coefficienti di e , si ha che
- Il risultante è ben definito per polinomi su qualunque anello commutativo.
- Se h è un omomorfismo dell'anello dei coefficienti in un altro anello commutativo, che preserva i gradi di e , allora il risultante dell'immagine tramite h di e è l'immagine tramite h del risultante di e .
- Il risultante di due polinomi a coefficienti in un dominio di integrità è zero se e solo se hanno massimo comune divisore di grado positivo.
Applicazioni
- Il discriminante di un polinomio è definito (a meno del segno) come il quoziente del risultante tra il polinomio e la sua derivata con il coefficiente del suo monomio di grado massimo.
- I risultanti possono essere usati in geometria algebrica per determinate intersezioni. Ad esempio, siano
- e
- curve algebriche in . Se e sono visti come polinomi in a coefficienti in , allora il risultante di e è un polinomio in le cui radici sono le coordinate delle intersezioni tra le curve e degli asintoti comuni paralleli all'asse delle .
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Risultante, su MathWorld, Wolfram Research.
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