Similitudine tra matrici

In algebra lineare, la similitudine tra matrici è un'importante relazione di equivalenza, che induce una partizione dell'insieme ${\displaystyle M(n,K)}$ di tutte le matrici quadrate con ${\displaystyle n}$ righe e colonne a valori in un campo ${\displaystyle K}$. In particolare, nella teoria degli endomorfismi di uno spazio vettoriale, due matrici si dicono simili quando rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due basi diverse. Quindi ad ogni endomorfismo si può associare una classe di equivalenza di matrici simili.

Due matrici simili hanno gli stessi autovalori, rango, determinante e traccia. Non vale però il contrario: due matrici con la stessa traccia, lo stesso determinante, lo stesso rango e lo stesso polinomio caratteristico non sono necessariamente simili.

Due matrici quadrate ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono simili quando esiste una matrice invertibile ${\displaystyle M}$ tale che:^[1]

${\displaystyle \ A=M^{-1}BM}$

In particolare, la matrice identità e la matrice nulla sono simili solo a loro stesse.

Due matrici simili hanno lo stesso rango, determinante e traccia. Si dice quindi che rango, determinante e traccia sono invarianti per similitudine.

La dimostrazione dell'invarianza del determinante passa per il teorema di Binet:

${\displaystyle \det(M^{-1}BM)=\det(M^{-1})\cdot \det B\cdot \det M=}$

${\displaystyle (\det M)^{-1}\cdot \det B\cdot \det M=\det B\cdot (\det M)^{-1}\cdot \det M=\det B}$

Due matrici simili hanno inoltre lo stesso polinomio caratteristico e lo stesso polinomio minimo. Infatti, dalla definizione si ha che ${\displaystyle A=P^{-1}\cdot B\cdot P}$, da cui si ricava il polinomio caratteristico:

${\displaystyle \Delta _{A}(\lambda )=|\lambda I-A|=|\lambda I-P^{-1}\cdot B\cdot P|}$

e dal momento che ${\displaystyle \lambda }$ è uno scalare si può moltiplicare a sinistra e a destra di ${\displaystyle \lambda I}$ per ${\displaystyle P^{-1}}$ e per ${\displaystyle P}$. Infatti:

${\displaystyle \lambda I=\lambda P^{-1}\cdot I\cdot P=P^{-1}\cdot \lambda I\cdot P}$

Si ha quindi che:

${\displaystyle |\lambda I-P^{-1}\cdot B\cdot P|=|P^{-1}\cdot \lambda I\cdot P-P^{-1}\cdot B\cdot P|=|P^{-1}(\lambda I-B)P|=|P^{-1}|\cdot |(\lambda I-B)|\cdot |P|}$

da cui ${\displaystyle |\lambda I-A|=|\lambda I-B|}$.

Questo fatto comporta che due matrici simili abbiano anche gli stessi autovalori, infatti se ${\displaystyle \lambda }$ è un autovalore della matrice ${\displaystyle A}$, ed ${\displaystyle A}$ è simile a ${\displaystyle B}$, si ha:

${\displaystyle Ax=\lambda x\qquad M^{-1}BMx=\lambda x}$

per qualche vettore ${\displaystyle x}$ diverso da zero. Moltiplicando entrambi i membri della seconda uguaglianza a sinistra per ${\displaystyle M}$ si ottiene:

${\displaystyle B(Mx)=\lambda (Mx)\ }$

per cui ${\displaystyle \lambda }$ è anche autovalore di ${\displaystyle B}$ con autovettore ${\displaystyle Mx}$.

Due matrici con la stessa traccia, lo stesso determinante e lo stesso polinomio caratteristico non sono tuttavia necessariamente simili. Ad esempio:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}}$

non sono matrici simili.

Lo stesso argomento in dettaglio: Diagonalizzabilità.

La relazione di similitudine fra matrici è usata soprattutto per la sua stretta relazione con la teoria degli endomorfismi di uno spazio vettoriale, riassunta nell'asserzione seguente: sia T un endomorfismo di uno spazio vettoriale. Le matrici associate a ${\displaystyle T}$ rispetto a due basi diverse dello spazio sono simili.

Una matrice simile ad una matrice diagonale si dice diagonalizzabile. Lo studio della diagonalizzabilità di una matrice è un problema centrale in algebra lineare. Non tutte le matrici sono diagonalizzabili, ed a tal proposito sui campi reale e complesso la forma canonica di Jordan di una matrice quadrata ${\displaystyle A}$ definisce una matrice triangolare ${\displaystyle J}$ simile ad ${\displaystyle A}$ che ha una struttura il più possibile vicina ad una matrice diagonale. In particolare, la matrice è diagonale se e solo se ${\displaystyle A}$ è diagonalizzabile, altrimenti è divisa in blocchi detti blocchi di Jordan.

Particolare importanza riveste il caso in cui la matrice invertibile che definisce la relazione di similitudine è una matrice unitaria. Due matrici ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono unitariamente equivalenti se sono simili rispetto ad una matrice unitaria ${\displaystyle U}$, ovvero ${\displaystyle A=UBU^{\dagger }}$. Ad esempio, le matrici hermitiane sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali reali, e le matrici normali sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali complesse.

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• F. Odetti, M. Raimondo, Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG, 1992, ISBN 88-7545-717-4.
• (EN) Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2.

• Congruenza fra matrici
• Diagonalizzabilità
• Forma di Jordan
• Equivalenza sinistra-destra fra matrici
• Matrice di cambiamento di base

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «similitudine»

• (EN) Eric W. Weisstein, Similitudine tra matrici / Similitudine tra matrici (altra versione), su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Peter J Eccles - Brief lecture notes - Similarity and Diagonalization (PDF), su maths.manchester.ac.uk. URL consultato il 20 gennaio 2014 (archiviato dall'url originale il 3 febbraio 2014).

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