Teorema dell'elemento primitivo

In matematica, il teorema dell'elemento primitivo è un risultato della teoria dei campi che caratterizza le estensioni algebriche che sono semplici, ovvero che possono essere generate da un unico elemento (detto appunto elemento primitivo per l'estensione).

Esistono due formulazioni del teorema dell'elemento primitivo.

La prima è la seguente: un'estensione algebrica ${\displaystyle K\subseteq L}$ è semplice (ossia possiede un elemento primitivo) se e solo se ci sono solo un numero finito di campi intermedi (ossia di campi ${\displaystyle L_{1}}$ tali che ${\displaystyle K\subseteq L_{1}\subseteq L}$).

Nella seconda, sia ${\displaystyle L=K(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$ un'estensione algebrica finita di ${\displaystyle K}$. Se ${\displaystyle \alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ sono separabili su ${\displaystyle K}$, allora l'estensione ${\displaystyle K\subseteq L}$ è semplice.

In entrambi i casi, un corollario immediato è che ogni estensione separabile finita di ${\displaystyle K}$ è semplice; in particolare, ogni estensione finita di un campo di caratteristica 0 (ad esempio, ogni campo di numeri, ossia ogni estensione finita dei numeri razionali) è un'estensione semplice.

Un'altra conseguenza diretta è che le estensioni finite dei campi finiti sono semplici.

Le dimostrazioni di entrambe le forme del teorema mostrano che, se un elemento primitivo esiste, allora ha la forma ${\displaystyle x_{1}\alpha _{1}+\cdots +x_{n}\alpha _{n}}$, dove ${\displaystyle L=K(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$ e gli ${\displaystyle x_{i}}$ sono elementi di ${\displaystyle K}$; in particolare, mostrano che, ad eccezione di un numero finito di ${\displaystyle n}$-uple ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$, l'elemento ${\displaystyle x_{1}\alpha _{1}+\cdots +x_{n}\alpha _{n}}$ è sempre primitivo (in particolare, non è unico).

Le dimostrazioni mostrano inoltre che, se ${\displaystyle L=K(\alpha ,\beta )}$ è generato da due elementi, allora ${\displaystyle \alpha +c\beta }$ è un elemento primitivo se

${\displaystyle c\neq {\frac {\alpha -\alpha _{i}}{\beta _{j}-\beta }},}$

dove gli ${\displaystyle \alpha _{i}}$ sono i coniugati di ${\displaystyle \alpha }$ su ${\displaystyle K}$ e i ${\displaystyle \beta _{j}}$ sono i coniugati di ${\displaystyle \beta }$.

• Se ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$, un elemento primitivo dell'estensione è ${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$.
• Più in generale, se ${\displaystyle K(\alpha )}$ e ${\displaystyle K(\beta )}$ sono estensioni normali di ${\displaystyle K}$ e ${\displaystyle K(\alpha )\cap K(\beta )=K}$, allora ${\displaystyle \alpha +\beta }$ è un elemento primitivo di ${\displaystyle K(\alpha ,\beta )}$.
• Se ${\displaystyle L=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$ e due degli ${\displaystyle \alpha _{i}}$ non sono separabili, allora l'estensione può non essere semplice. Ad esempio, se ${\displaystyle K}$ è un campo di caratteristica ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle X,Y}$ sono due indeterminate su ${\displaystyle K}$, allora l'estensione

${\displaystyle K(X^{p},Y^{p})\subseteq K(X,Y)}$

non è semplice, in quanto ha grado ${\displaystyle p^{2}}$ ma ogni elemento di ${\displaystyle K(X,Y)}$ ha grado ${\displaystyle p}$ su ${\displaystyle K(X^{p},Y^{p})}$.

• Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.
• (EN) James S. Milne, Fields and Galois Theory (v. 4.53) (PDF), 2017.

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