Teorema delle tangenti e delle secanti

Il teorema delle tangenti e delle secanti è un teorema della geometria euclidea che descrive il rapporto tra il segmento tangente a una circonferenza e i segmenti intersecati dalla circonferenza su una secante.

Tale teorema è essenziale per la costruzione, con riga e compasso, della sezione aurea di un segmento.

Se da un punto esterno di una circonferenza si conduce una tangente ed una secante il segmento di tangenza è medio proporzionale tra l'intera secante e la sua parte esterna.^[1]

Enunciato del teorema delle tangenti e delle secanti così come è stato scritto da Euclide nel terzo libro degli Elementi.^[2][3]

“Se un punto è preso all'esterno di una circonferenza e dal quel punto escono due linee rette e se una di esse interseca la circonferenza e l'altra è tangente, il rettangolo formato da tutto il segmento che taglia la circonferenza e il segmento intercettato su di essa all'esterno tra il punto e la circonferenza è uguale al quadrato sulla tangente.”

• Sia ${\displaystyle A}$ un punto esterno alla circonferenza ${\displaystyle BDE}$.
• Sia ${\displaystyle AB}$ tangente alla circonferenza.
• Sia ${\displaystyle AD}$ secante alla circonferenza in ${\displaystyle D}$ ed ${\displaystyle E}$.

Si consideri la figura così come descritta dall'enunciato:

Il segmento ${\displaystyle AB}$ è medio proporzionale tra ${\displaystyle AD}$ e ${\displaystyle AE}$; vale a dire ${\displaystyle AD:AB=AB:AE}$.

Per il primo criterio di similitudine dei triangoli (due triangoli sono simili se hanno due angoli congruenti corrispondenti) i triangoli ${\displaystyle ABD}$ e ${\displaystyle ABE}$ sono simili.

Infatti hanno l'angolo in ${\displaystyle A}$ in comune e l'angolo ${\displaystyle ABE}$ congruente all'angolo ${\displaystyle ADB}$, perché angoli che insistono sullo stesso arco ${\displaystyle EB}$.

Ne consegue ${\displaystyle AD:AB=AB:AE}$. (c.v.d.)

Se si modifica la figura precedente come indicato sotto:

con ${\displaystyle AB}$ perpendicolare a ${\displaystyle BB'}$, ${\displaystyle C}$ centro della circonferenza, ${\displaystyle AB=BB'=ED}$, si ottiene il disegno per la costruzione geometrica della sezione aurea con riga e compasso.

• (EN) Terzo libro degli elementi, su proofwiki.org. URL consultato il 4 maggio 2019 (archiviato dall'url originale il 10 aprile 2014).