Teorema di Carlson

In matematica, nel campo dell'analisi complessa, il teorema di Carlson è un teorema di unicità sviluppato da Fritz David Carlson. Informalmente, esso afferma che due differenti funzioni analitiche che non crescono con sufficiente velocità all'infinito non possono coincidere sugli interi. Il teorema può essere ottenuto dal teorema di Phragmén-Lindelöf, estensione del teorema del massimo modulo.

Si assuma che ${\displaystyle f}$ soddisfi le seguenti tre condizioni. Le prime due limitano la crescita di ${\displaystyle f}$ all'infinito, mentre la terza afferma che ${\displaystyle f}$ deve essere nulla sugli interi non-negativi.

• ${\displaystyle f(z)}$ è una funzione intera di tipo esponenziale, ossia

${\displaystyle |f(z)|\leq Ce^{\tau |z|},\quad z\in \mathbb {C} }$ per alcuni valori reali di ${\displaystyle C}$ e ${\displaystyle \tau }$.

• Esiste ${\displaystyle c<\pi }$ tale che

${\displaystyle |f(iy)|\leq Ce^{c|y|},\quad y\in \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle f(n)=0}$ per ogni intero non-negativo ${\displaystyle n}$.

Allora ${\displaystyle f}$ è identicamente nulla.

La prima condizione può essere rilassata; è difatti sufficiente assumere che ${\displaystyle f}$ sia analitica in ${\displaystyle \Re (z)>0}$, continua in ${\displaystyle \Re (z)\geq 0}$ e soddisfi ${\displaystyle |f(z)|\leq Ce^{\tau |z|},\quad \Re (z)>0}$, per alcuni valori reali di ${\displaystyle C}$ e ${\displaystyle \tau }$.

Per vedere che la seconda condizione non può essere rilassata consideriamo la funzione ${\displaystyle f(z)=\sin(\pi z)}$. Essa è nulla sugli interi ma cresce esponenzialmente sull'asse immaginario con tasso di crescita pari a ${\displaystyle c=\pi }$, dunque non è identicamente nulla.

Un risultato dovuto a L. A. Rubel rilassa tale condizione; infatti per dimostrare il teorema basta supporre che ${\displaystyle f}$ sia identicamente nulla su un sottoinsieme ${\displaystyle A}$ tale che

${\displaystyle \displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {A\cap \left\{0,1,\dots ,n-1\right\}}{n}}=1.}$

Tale condizione non può essere ulteriormente rilassata.

• F. Carlson, Sur une classe de séries de Taylor, (1914) Dissertation, Uppsala, Sweden, 1914.
• M. Riesz, Sur le principe de Phragmén–Lindelöf, in Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 20, 1920, pp. 205–107, cor 21(1921) p. 6.
• G.H. Hardy, On two theorems of F. Carlson and S. Wigert, in Acta Mathematica, vol. 42, 1920, pp. 327–339, DOI:10.1007/bf02404414.
• E.C. Titchmarsh, The Theory of Functions (2nd Ed) (1939) Oxford University Press (See section 5.81)
• R. P. Boas, Jr., Entire functions, (1954) Academic Press, New York.
• R. DeMar, Existence of interpolating functions of exponential type, in Trans. Amer. Math. Soc., vol. 105, n. 3, 1962, pp. 359–371, DOI:10.1090/s0002-9947-1962-0141920-6.
• R. DeMar, Vanishing Central Differences, in Proc. Amer. Math. Soc., vol. 14, 1963, pp. 64–67, DOI:10.1090/s0002-9939-1963-0143907-2.
• L. A. Rubel, Necessary and sufficient conditions for Carlson's theorem on entire functions, in Trans. Amer. Math. Soc., vol. 83, n. 2, 1956, pp. 417–429, DOI:10.1090/s0002-9947-1956-0081944-8, JSTOR 1992882, MR 0081944, PMC 528143, PMID 16578453.

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