Teorema di Gel'fond-Schneider
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In matematica, il teorema di Gel'fond-Schneider è un teorema che stabilisce la trascendenza di una grande classe di numeri e risolve così il settimo problema di Hilbert.
Fu dimostrato indipendentemente nel 1934 dal matematico Aleksandr Osipovič Gel'fond[1] e da Theodor Schneider.
Enunciato
Il teorema afferma che dati due numeri a algebrico diverso da 0 e da 1 e b non razionale e algebrico, è trascendente, cioè non è la radice di nessun polinomio a coefficienti interi. Per esempio il teorema afferma la trascendenza di numeri come , , ma anche (essendo i algebrico e "non razionale") di o di .
Il teorema è in generale falso se b è (irrazionale) trascendente, come ad esempio nel caso di e ( è chiaramente non trascendente). Casi come , o sono dunque tuttora aperti. Curiosamente però si sa in base al teorema di Gel'fond che (nota come costante di Gel'fond) è trascendente visto che si può scrivere anche come a cui il teorema è applicabile.
Note
- ^ Aleksandr Gelfond, Sur le septième Problème de Hilbert, in Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na, VII, n. 4, 1934, pp. 623–634.
Collegamenti esterni
- (EN) Gelfond’s theorem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Gel'fond-Schneider, su MathWorld, Wolfram Research.
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