Teorema di Viviani : Dimostrazione, Note, Bibliografia, Altri progetti Wikipedia, l'enciclopedia libera

Teorema di Viviani

Il teorema di Viviani, un teorema della geometria euclidea, afferma che la somma delle tre distanze dai lati di un qualunque punto di un triangolo equilatero è costante, e uguale all'altezza del triangolo^[1]^[2]^[3]. Prende il nome dal matematico italiano Vincenzo Viviani (1622-1703) che lo dimostrò.

Dimostrazione

La dimostrazione si basa sul fatto che l'area del triangolo è data dalla regola base per altezza diviso due.

Sia ABC un triangolo equilatero di altezza h e lato a.

Sia P un punto interno del triangolo, e u, s, t le distanze da P dai suoi rispettivi lati. I segmenti che da P incontrano i vertici A, B, and C, suddividono il triangolo ABC in tre triangolini PAB, PBC, and PCA. Poiché il triangolo è equilatero, le loro rispettive basi sono uguali (e costanti) al lato a del triangolo ABC.

Le tre rispettive aree sono ${\frac {u\cdot a}{2}}$ , ${\frac {s\cdot a}{2}}$ , e ${\frac {t\cdot a}{2}}$ . La loro somma fornisce l'area del triangolo. Per cui:

{\frac {u\cdot a}{2}}+{\frac {s\cdot a}{2}}+{\frac {t\cdot a}{2}}={\frac {h\cdot a}{2}}

e quindi

u + s + t = h.

Q.E.D.

Note

^ Una dimostrazione del teorema fu proposta dal matematico Vincenzo Viviani nel 1659.
^ (EN) Elias Abboud, On Viviani's Theorem and its Extensions, in College Mathematics Journal, vol. 43, n. 3, 2010, pp. 203-211, DOI:10.4169/074683410X488683.
^ Per estensione questa proprietà della somma costante delle distanze di un punto della figura geometrica dai lati appartiene a tutti i poligoni regolari, i poligoni equilateri, i poligoni equiangoli e i poligoni con i lati opposti paralleli.

Bibliografia

(EN) Elias Abboud, On Viviani's Theorem and its Extensions, in College Mathematics Journal, vol. 43, n. 3, 2010, pp. 203-211, DOI:10.4169/074683410X488683, arXiv:0903.0753.
(EN) C. Alsina e Roger B. Nelsen, Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics, Google books, 2010, p. 96, ISBN 978-0-88385-348-1.
(EN) Ken-Ichiroh Kawasaki, Yoshihiro Yagi, Katsuya Yanagawa: On Viviani’s Theorem in Three Dimensions. In: The Mathematical Gazette, Vol. 89, No. 515 (Jul., 2005), S. 283–287 (JSTOR 3621243)
(EN) Hans Samelson: Proof without Words: Viviani’s Theorem with Vectors. In: Mathematics Magazine, Vol. 76, No. 3 (Jun., 2003), S. 225 (JSTOR 3219327)