数学において、ウォリス積分とは、ジョン・ウォリスによって導入された積分である。
定義と証明
定義
ウォリス積分 (m は 0 以上の整数)は
で定義される。部分積分によって
すなわち漸化式
が得られる。これより m の偶奇に応じて の値が求まる。
ただしは二重階乗である。
ウォリス積分におけるウォリスの公式
m = 2n を代入すると先述の の求値より
スターリングの公式との関係
スターリングの公式:
はウォリスの公式の拡張である。実際、スターリングの公式を仮定し とおくと、
より
が得られる。
応用
ウォリスの公式を用いてガウス積分を求めることができる。
またカタラン数 にも二項係数が現れるため、ウォリスの公式より評価できる:
関連項目