代数学におけるビネ・コーシーの恒等式 (びね・こーしーのこうとうしき、英: Binet–Cauchy identity)とは、ジャック・フィリップ・マリー・ビネおよび オーギュスタン=ルイ・コーシーに由来する、次の恒等式[1]
![{\displaystyle \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)=\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)+\textstyle \sum \limits _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc36ab3133e657c210182cc1243f2c4fe3749aeb)
![{\displaystyle (a_{i},b_{i},c_{i},d_{i}\in \mathbb {K} \ (i=1,\cdots ,n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd7a1cfb6af1c92653936f22d441c6ba4e63c30)
のことである。ここで、
は実数や複素数(より一般的には可換環)を表す。
ci = ai かつ di = bi とすれば、実数に対するラグランジュの恒等式(英語版)が得られる。これはユークリッド空間
におけるコーシー=シュワルツの不等式を強化したものである。
証明
右辺第2項を展開すると
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\textstyle \sum \limits _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})\\&=\textstyle \sum \limits _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}+a_{j}c_{j}b_{i}d_{i})+\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{i}d_{i}-\sum \limits _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}+a_{j}d_{j}b_{i}c_{i})-\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{i}c_{i}\\&=\left(\textstyle \sum \limits _{1\leq i<j\leq n}+\sum \limits _{1\leq j<i\leq n}+\sum \limits _{1\leq i=j\leq n}\right)a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-\left(\textstyle \sum \limits _{1\leq i<j\leq n}+\sum \limits _{1\leq j<i\leq n}+\sum \limits _{1\leq i=j\leq n}\right)a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}\\&=\textstyle \sum \limits _{\scriptstyle 1\leq i\leq n \atop \scriptstyle 1\leq j\leq n}a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-\sum \limits _{\scriptstyle 1\leq i\leq n \atop \scriptstyle 1\leq j\leq n}a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}\\&=\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)-\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/891fdf836ea86fcd4eeaed8ed36d2807c12fc0f5)
となり、残りの項が導かれる。(第一式から第二式の導出に乗算の可換性を用いている。)
ビネ・コーシーの恒等式とスカラー4重積
n = 3,
のとき
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)-\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)&=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})(c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1})\\&+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})(c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2})\\&+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})(c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1})\\({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})&=({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})_{3}({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})_{3}\\&+({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})_{1}({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})_{1}\\&+({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})_{2}({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})_{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18b023f7307ef3af037f646d9040d0c3bf2b6a07)
すなわち、クロス積のスカラー四重積の公式
![{\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\quad ({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}}\in \mathbb {R} ^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61abf1021a188b05c198055f85e62257df7f3659)
が得られる。(この式をビネ・コーシーの恒等式ということもある。)
この式をスカラー三重積の性質を使って変形すれば
![{\displaystyle {\begin{aligned}\{({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}\}\cdot {\boldsymbol {d}}&=\left\{({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}}\right\}\cdot {\boldsymbol {d}}\\\therefore ~({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}&=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aded10793450252b4ef914a5d3f3355311038600)
とベクトル三重積の公式が得られる。
また、c = a, d = b とおくと、
![{\displaystyle \|{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}\|^{2}=\|{\boldsymbol {a}}\|^{2}\|{\boldsymbol {b}}\|^{2}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})^{2}\quad ({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}\in \mathbb {R} ^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3412a943d5f690cccaf29537320f8cc5eb36e574)
と、ベクトル解析におけるラグランジュの恒等式が得られる。
一般化
以下の定理はコーシー・ビネの公式として知られている一般化である:
n を自然数とし、集合 {1, …, n} を [n] と表記する。m を非負整数として、A を m × n行列、B を n × m行列とする。 S を [n] から m 個を選んだ部分集合とし、AS を A の n個の列から S に含まれる添字の列を取り出して得られた m × m行列、BS を B の n個の行から S に含まれる添字の行を取り出して得られた m × m行列とする。
m × m行列である積 AB の行列式は
![{\displaystyle \det(AB)=\textstyle \sum \limits _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3560b0af6c2b10553289e3e20828b3f77a8b264)
となる。ただし、和において、S は、[n] の部分集合で要素数が m のものすべてを取るとする。
特別な場合として、m = 2 として
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\\b_{1}&\dots &b_{n}\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}c_{1}&d_{1}\\\vdots &\vdots \\c_{n}&d_{n}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29ee57555223c083116f52c0e8e89f988b2da631)
を適用すれば
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}&\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\\\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}c_{i}&\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}d_{i}\end{vmatrix}}=\textstyle \sum \limits _{1\leq i<j\leq n}{\begin{vmatrix}a_{i}&a_{j}\\b_{i}&b_{j}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}c_{i}&d_{i}\\c_{j}&d_{j}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de28dab6573e955cc27a643ba8637199133e045a)
となり、ビネ・コーシーの恒等式が得られる。
脚注
[脚注の使い方]
- ^ Eric W. Weisstein (2003). “Binet-Cauchy identity”. CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd ed.). CRC Press. p. 228. ISBN 1-58488-347-2. https://books.google.co.jp/books?id=8LmCzWQYh_UC&pg=PA228&redir_esc=y&hl=ja
参考文献
- 伊理正夫、韓太舜『線形代数 行列とその標準形』教育出版〈新しい応用の数学16〉、1977年6月。ISBN 4-316-37670-5。
関連項目
外部リンク
- 『ラグランジュの恒等式とその仲間』 - 高校数学の美しい物語
- Weisstein, Eric W. "Binet-Cauchy Identity". mathworld.wolfram.com (英語).