メガ素数
メガ素数(英語: megaprime)は、100万桁以上の素数[1]である。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Megaprimes_found_by_year.png/330px-Megaprimes_found_by_year.png)
2023年12月 (2023-12)現在[update]、2414 個のメガ素数[2]と 126 個の確率的メガ素数[3]が知られている。最初に発見されたメガ素数は、メルセンヌ素数の26972593−1(2,098,960桁)で、1999年6月1日にNayan Hajratwalaが分散コンピューティング・プロジェクト、GIMPSを使用した物であった[4][5]。
10進数で1,000桁以上の素数はタイタニック素数と呼ばれ、10,000桁以上の素数は巨大素数と呼ばれる。
種類別のリスト
以下では、メガ素数または確率的メガ素数を、素数の種類別に一覧で示す。
メルセンヌ素数
2022年4月現在で51個のメルセンヌ素数が知られており、そのうち38番目以降の14個がメガ素数である[6]。知られている最大の素数はほとんどの期間でメルセンヌ素数 (のいずれか) であった。これは、知られている大きな数の素数判定が N + 1 あるいは N - 1 の素因数分解に基づいており、メルセンヌ数の場合は N + 1 の素因数分解がほとんど自明であったためである[7]。
発見された数 | Prime/PRP | 発見された日付 | 桁数 | 出典 |
---|---|---|---|---|
282589933-1 | Prime | 2018年12月7日 | 24,862,048 | [GIMPS 1] |
277232917-1 | Prime | 2017年12月26日 | 23,249,425 | [GIMPS 2] |
274207281-1 | Prime | 2016年1月7日 | 22,338,618 | [GIMPS 3] |
257885161-1 | Prime | 2013年1月25日 | 17,425,170 | [GIMPS 4] |
243112609-1 | Prime | 2008年8月23日 | 12,978,189 | [GIMPS 5] |
242643801-1 | Prime | 2009年1月4日 | 12,837,064 | [GIMPS 6] |
237156667-1 | Prime | 2008年9月6日 | 11,185,272 | [GIMPS 5] |
232582657-1 | Prime | 2006年9月4日 | 9,808,358 | [GIMPS 7] |
230402457-1 | Prime | 2005年12月15日 | 9,152,052 | [GIMPS 8] |
225964951-1 | Prime | 2005年2月18日 | 7,816,230 | [GIMPS 9] |
224036583-1 | Prime | 2004年5月15日 | 7,235,733 | [GIMPS 10] |
220996011-1 | Prime | 2003年11月17日 | 6,320,430 | [GIMPS 11] |
213466917-1 | Prime | 2001年11月14日 | 4,053,946 | [GIMPS 12] |
26972593-1 | Prime | 1999年1月1日 | 2,098,960 | [GIMPS 13] |
プロス数
正の奇数 k と 2n > k を満たす n に対して、N = k·2n + 1 で表される数をプロス数 (英: Proth number) と言う。
プロス素数の探索プロジェクトとしてProth Prime Searchがある。また、探索プロジェクトを持つようなプロス数のクラスには次のようなものがある:
- 第2種サービト数(英語: Thabit number)... 3·2n + 1 (321 Prime Search)
- カレン数 ... n·2n + 1 (Cullen/Woodall prime search)
- シェルピンスキー問題 ... 最小のシェルピンスキー数は78557か? (Seventeen or Bust)
- Prime Sierpiński problem ... 最小の素数であるシェルピンスキー数は271129か? (Prime Sierpinski Problem)
- 拡張シェルピンスキー問題 ... 2番目に小さいシェルピンスキー数は271129か? (Extended Sierpinski Problem)
- フェルマー数 ... 22n + 1 (Distributed Search for Fermat Number Divisors)
- フェルマー数 Fn の素因数は k·2n+2+1 (k ≧ 3) と表されるため、k が十分に小さいならばプロス数である[注 1]。
発見された数 | Prime/PRP | 発見/報告された日付 | 桁数 | 出典 | 備考 |
---|---|---|---|---|---|
10223·231172165+1 | Prime | 2016年10月31日 | 9,383,761 | [PrimeGrid 1] | |
202705·221320516+1 | Prime | 2021年11月25日 | 6,418,121 | [PrimeGrid 2] | |
81·220498148+1 | Prime | 2023年6月13日 | 6,170,560 | [Primes 1] | |
7·220267500+1 | Prime | 2022年7月21日 | 6,101,127 | [Primes 2] | |
168451·219375200+1 | Prime | 2017年9月17日 | 5,832,522 | [PrimeGrid 3] | |
69·219374980+1 | Prime | 2022年7月3日 | 5,832,452 | [Primes 3] | |
7·218233956+1 | Prime | 2020年10月1日 | 5,488,969 | [Primes 4] | F18233954 の素因数 |
3·216408818+1 | Prime | 2020年10月25日 | 4,939,547 | [PrimeGrid 4] | 第2種サービト数 |
99739·214019102+1 | Prime | 2019年12月24日 | 4,220,176 | [PrimeGrid 5] | |
19249·213018586+1 | Prime | 2007年3月26日[9] | 3,918,990 | [Primes 5] | |
193997·211452891+1 | Prime | 2018年4月3日 | 3,447,670 | [PrimeGrid 6] | |
3·210829346+1 | Prime | 2014年1月14日 | 3,259,959 | [PrimeGrid 7] | 第2種サービト数 |
121·29584444+1 | Prime | 2020年11月18日 | 2,885,208 | [PrimeGrid 8] | |
27653 · 29167433+1 | Prime | 2005年6月8日[9] | 2,759,677 | [Primes 6] | |
27·28342438+1 | Prime | 2021年2月1日 | 2,511,326 | [PrimeGrid 9] | |
27·27963247+1 | Prime | 2021年1月14日 | 2,397,178 | [PrimeGrid 10] | F7963245 の素因数 |
28433 · 27830457+1 | Prime | 2004年12月30日[9] | 2,357,207 | [Primes 7] | |
161041·27107964+1 | Prime | 2015年1月6日 | 2,139,716 | [PrimeGrid 11] | |
27·27046834+1 | Prime | 2018年10月11日 | 2,121,310 | [PrimeGrid 12] | |
3·27033641+1 | Prime | 2011年2月21日 | 2,117,338 | [PrimeGrid 13] | 第2種サービト数 |
6679881·26679881+1 | Prime | 2009年7月25日 | 2,010,852 | [PrimeGrid 14] | カレン数 |
1582137·26328550+1 | Prime | 2009年4月20日 | 1,905,090 | [PrimeGrid 15] | カレン数 |
13·25523860+1 | Prime | 2020年1月22日 | 1,662,849 | [PrimeGrid 16] | F5523858 の素因数 |
27·25213635+1 | Prime | 2015年3月9日 | 1,569,462 | [PrimeGrid 17] | |
3·25082306+1 | Prime | 2009年4月3日 | 1,529,928 | [PrimeGrid 18] | 第2種サービト数 |
121·24553899+1 | Prime | 2012年2月25日 | 1,370,863 | [PrimeGrid 19] | |
193·23329782+1 | Prime | 2014年7月25日 | 1,002,367 | [PrimeGrid 20] | F3329780 の素因数 |
サービト数
自然数 n に対して 3·2n - 1 の形で表される数を、イスラムの数学者サービト・イブン・クッラの名前を冠してサービト数と言う。サービト数および第2種サービト数 (上述) である素数を探索するプロジェクトとして、321 Prime Searchが存在する。
発見された数 | Prime/PRP | 発見された日付 | 桁数 | 出典 |
---|---|---|---|---|
3·220928756-1 | Prime | 2023年7月5日 | 6,300,184 | [PrimeGrid 21] |
3·218924988-1 | Prime | 2022年3月24日 | 5,696,990 | [PrimeGrid 22] |
3·218196595-1 | Prime | 2022年1月8日 | 5,477,722 | [PrimeGrid 23] |
3·217748034-1 | Prime | 2021年9月6日 | 5,342,692 | [PrimeGrid 24] |
3·216819291-1 | Prime | 2021年1月20日 | 5,063,112 | [PrimeGrid 25] |
3·211895718-1 | Prime | 2015年6月23日 | 3,580,969 | [PrimeGrid 26] |
3·211731850-1 | Prime | 2015年3月13日 | 3,531,640 | [PrimeGrid 27] |
3·211484018-1 | Prime | 2014年11月22日 | 3,457,035 | [PrimeGrid 28] |
一般化フェルマー数
3以上の整数 b に対して、GFb, n = b2n + 1 で表される数を、b を底とする一般化フェルマー数と言う。
PrimeGridのGeneralized Fermat Prime Searchは、一般化フェルマー数のうち n ≧ 15 の範囲において素数を探索するプロジェクトである。2022年4月現在、Generalized Fermat Prime Searchは387個の一般化フェルマー素数であるメガ素数を発見している[注 2]。
発見された数 | Prime/PRP | 発見/報告された日付 | 桁数 | 出典 |
---|---|---|---|---|
19637361048576+1 | Prime | 2022年9月24日 | 6,598,776 | [Primes 8] |
19517341048576+1 | Prime | 2022年8月9日 | 6,595,985 | [PrimeGrid 29] |
10590941048576+1 | Prime | 2018年10月31日 | 6,317,602 | [PrimeGrid 30] |
9194441048576+1 | Prime | 2017年8月29日 | 6,253,210 | [PrimeGrid 31] |
4896418524288+1 | Prime | 2022年5月18日 | 3,507,424 | [PrimeGrid 32] |
3638450524288+1 | Prime | 2020年5月29日 | 3,439,810 | [PrimeGrid 33] |
9·211366286+1 | Prime | 2020年3月26日 | 3,421,594 | [Primes 9] |
3214654524288+1 | Prime | 2019年12月24日 | 3,411,613 | [PrimeGrid 34] |
2985036524288+1 | Prime | 2019年9月18日 | 3,394,739 | [PrimeGrid 35] |
2877652524288+1 | Prime | 2019年1月29日 | 3,386,397 | [PrimeGrid 36] |
2788032524288+1 | Prime | 2019年4月17日 | 3,379,193 | [PrimeGrid 37] |
2733014524288+1 | Prime | 2019年3月18日 | 3,374,655 | [PrimeGrid 38] |
2312092524288+1 | Prime | 2018年8月4日 | 3,336,572 | [PrimeGrid 39] |
2061748524288+1 | Prime | 2018年3月20日 | 3,310,478 | [PrimeGrid 40] |
1880370524288+1 | Prime | 2018年1月15日 | 3,289,511 | [PrimeGrid 41] |
発見された数 | Prime/PRP | 発見/報告された日付 | 桁数 | 出典 | 備考 |
---|---|---|---|---|---|
3·216408818+1 | Prime | 2020年10月25日 | 4,939,547 | [PrimeGrid 4] | 第2種サービト数 |
9·213334487+1 | Prime | 2020年3月21日 | 4,014,082 | [Primes 10] | |
9·212406887+1 | Prime | 2020年3月29日 | 3,734,847 | [Primes 11] | |
9·211500843+1 | Prime | 2020年3月13日 | 3,462,100 | [Primes 12] | |
9·211158963+1 | Prime | 2020年3月13日 | 3,359,184 | [Primes 13] | |
3·210829346+1 | Prime | 2014年1月14日 | 3,259,959 | [PrimeGrid 7] | 第2種サービト数 |
11·29381365+1 | Prime | 2020年3月7日 | 2,824,074 | [Primes 14] | |
17·28636199+1 | Prime | 2021年2月17日 | 2,599,757 | [PrimeGrid 42] | |
25·28456828+1 | Prime | 2021年1月27日 | 2,545,761 | [PrimeGrid 43] | 一般化フェルマー数 |
一般化カレン数
整数 b と n+2 > b を満たす n について、n·bn + 1 の形で表される数を一般化カレン数という[14]。
発見された数 | Prime/PRP | 発見/報告された日付 | 桁数 | 出典 |
---|---|---|---|---|
2525532·732525532+1 | Prime | 2021年8月28日 | 4,705,888 | [PrimeGrid 44] |
404849·213764867+1 | Prime | 2021年3月10日 | 4,143,644 | [Primes 15] |
2805222·55610444+1 | Prime | 2019年9月2日 | 3,921,539 | [PrimeGrid 45] |
1806676·411806676+1 | Prime | 2018年3月11日 | 2,913,785 | [PrimeGrid 46] |
1323365·1161323365+1 | Prime | 2018年1月18日 | 2,732,038 | [PrimeGrid 47] |
1341174·531341174+1 | Prime | 2017年8月21日 | 2,312,561 | [PrimeGrid 48] |
682156·79682156+1 | Prime | 2016年10月8日 | 1,294,484 | [PrimeGrid 49] |
298989·23886857+1 | Prime | 2014年12月31日 | 1,170,067 | [Primes 16] |
(一般化)ウッダル数
自然数 n に対して n·2n - 1 の形で表される数をウッダル数という。一般化カレン数と同様に、整数 b と n+2 > b を満たす n について、n·bn - 1 の形で表される数を一般化ウッダル数という[15]。
発見された数 | Prime/PRP | 発見/報告された日付 | 桁数 | 出典 |
---|---|---|---|---|
8508301·217016603-1 | Prime | 2018年3月22日 | 5,122,515 | [Primes 17] |
396101·214259638-1 | Prime | 2024年2月3日 | 4,292,585 | [Primes 18] |
2740879·213704395-1 | Prime | 2019年10月26日 | 4,125,441 | [Primes 19] |
479216·38625889-1 | Prime | 2019年11月16日 | 4,115,601 | [Primes 20] |
874208·541748416-1 | Prime | 2019年9月26日 | 3,028,951 | [Primes 21] |
101806·151527091-1 | Prime | 2023年4月14日 | 1,796,004 | [Primes 22] |
499238·101497714-1 | Prime | 2019年9月16日 | 1,497,720 | [Primes 23] |
583854·141167708-1 | Prime | 2019年9月17日 | 1,338,349 | [Primes 24] |
1993191·23986382-1 | Prime | 2015年5月1日 | 1,200,027 | [Primes 25] |
938237·23752950-1 | Prime | 2007年12月26日 | 1,129,757 | [Primes 26] |
ワグスタッフ素数
素数 p に対して、の形で表される素数をワグスタッフ素数という。2022年4月現在で、ワグスタッフ素数の形である確率的素数は14個報告されており、うち4つが100万桁以上の確率的メガ素数である[16][注 3]。
発見された数 | Prime/PRP | 報告された日付 | 桁数 | 出典 |
---|---|---|---|---|
(215135397+1)/3 | PRP | 2021年6月28日[18] | 4,556,209 | [16] |
(213372531+1)/3 | PRP | 2013年9月8日[19] | 4,025,533 | [16] |
(213347311+1)/3 | PRP | 2013年9月8日[19] | 4,017,941 | [16] |
(24031399+1)/3 | PRP | 2010年2月20日[20] | 1,213,572 | [16] |
(一般化)unique素数
2および5でない素数 p について、p の逆数の循環節の長さが他のものと一致しないとき、p を unique prime (あるいは unique period prime, 英語版) という[21]。例えば3, 11, 37, 101がそのような素数の例である。また、一般の基数 b に対して、同様の条件を満たす素数 p を generalized unique prime という。
より明示的な定義は、円分多項式 Φn(x) に対してが素数の冪で表されるとき、その素因数は基数 b の generalized unique prime であるという[22]。
発見された数 | Prime/PRP | 報告された日付 | 桁数 | 出典 |
---|---|---|---|---|
Φ3(-123447219) | Prime | 2017年2月23日 | 5,338,805 | [Primes 27] |
215317227+27658614+1 | Prime | 2020年7月31日 | 4,610,945 | [Primes 28] |
Φ3(-143332393216) | Prime | 2017年1月30日 | 4,055,114 | [Primes 29] |
Φ3(-844833262144) | Prime | 2017年1月17日 | 3,107,335 | [Primes 30] |
Φ3(-712012262144) | Prime | 2017年1月14日 | 3,068,389 | [Primes 31] |
Φ3(-558640196608) | Prime | 2017年1月11日 | 2,259,865 | [Primes 32] |
Φ3(-237804196608) | Prime | 2017年1月6日 | 2,114,016 | [Primes 33] |
その他
発見された数 | Prime/PRP | 報告された日付 | 桁数 | 出典 | 備考 |
---|---|---|---|---|---|
R8177207 | PRP | 2021年4月20日[23] | 8,177,207 | [24] | レピュニット |
R5794777 | PRP | 2021年4月20日[23] | 5,794,777 | [24] | レピュニット |
69·218831865-1 | Prime | 2021年12月26日 | 5,668,959 | [Primes 34] | |
3622·57558139-1 | Prime | 2022年2月18日 | 5,282,917 | [Primes 35] | |
7·66772401+1 | Prime | 2019年9月9日 | 5,269,954 | [Primes 36] | |
69·215866556-1 | Prime | 2021年8月20日 | 4,776,312 | [Primes 37] | |
6·56546983-1 | Prime | 2020年6月13日 | 4,576,146 | [Primes 38] | |
69·214977631-1 | Prime | 2021年12月3日 | 4,508,719 | [Primes 39] | |
192971·214773948-1 | Prime | 2021年3月7日 | 4,447,272 | [Primes 40] | |
69·213832885-1 | Prime | 2022年1月7日 | 4,164,116 | [Primes 41] | |
213380298-27 | PRP | 2021年3月2日[25] | 4,027,872 | [3] | |
9221·211392194-1 | Prime | 2021年2月7日 | 3,429,397 | [PrimeGrid 50] | |
146561·211280802-1 | Prime | 2020年11月16日 | 3,395,865 | [PrimeGrid 51] | |
(210443557-1)/37289325994807 | PRP | 2020年7月9日 | 3,143,811 | [26][GIMPS 14] | M10443557 の約数 |
273809·28932416-1 | Prime | 2017年12月13日 | 2,688,931 | [PrimeGrid 52] | |
(27313983-1)/305492080276193 | PRP | 2018年3月1日 | 2,201,714 | [26][27] | M7313983 の約数 |
422429!+1 | Prime | 2022年2月21日 | 2,193,027 | [Primes 42] | 階乗素数 |
502573·27181987-1 | Prime | 2014年10月4日 | 2,162,000 | [PrimeGrid 53] | |
402539·27173024-1 | Prime | 2014年10月2日 | 2,159,301 | [PrimeGrid 54] | |
(27080247-1)/156822217506727 /11283326312536321/9632940548330339593 | PRP | 2017年10月27日 | 2,131,318 | [26][28] | M7080247 の約数 |
40597·26808509-1 | Prime | 2013年12月25日 | 2,049,571 | [PrimeGrid 55] | |
101888529-10944264-1 | Prime | 2021年10月18日 | 1,888,529 | [Primes 43] | 回文素数 |
(25240707-1)/75392810903 | PRP | 2017年10月29日 | 1,577,600 | [26][29] | M5240707 の約数 |
308084!+1 | Prime | 2022年1月20日 | 1,557,176 | [Primes 44] | 階乗素数 |
(24834891-1)/1701881633/70659688575577 | PRP | 2017年9月20日 | 1,455,425 | [26][30] | M4834891 の約数 |
288465!+1 | Prime | 2022年1月10日 | 1,449,771 | [Primes 45] | 階乗素数 |
F6530879 | PRP | 2022年8月 | 1,364,873 | [31] | フィボナッチ数 |
(24187251-1)/72234342371519 | PRP | 2017年10月31日 | 1,260,475 | [26][32] | M4187251 の約数 |
101234567-20342924302·10617278-1 | Prime | 2021年9月15日 | 1,234,567 | [Primes 46] | 回文素数 |
101234567-3626840486263·10617277-1 | Prime | 2021年9月29日 | 1,234,567 | [Primes 47] | 回文素数 |
101234567-4708229228074·10617277-1 | Prime | 2021年9月29日 | 1,234,567 | [Primes 48] | 回文素数 |
L5466311 | PRP | 2022年8月 | 1,142,392 | [33] | リュカ数 |
(23464473-1)/604874508299177 | PRP | 2017年10月31日 | 1,042,896 | [26][34] | M3464473 の約数 |
208003!-1 | Prime | 2016年7月25日 | 1,015,843 | [Primes 49] | 階乗素数 |
L4819961 | PRP | 2022年7月 | 1,007,313 | [33] | リュカ数 |
10999999+593499 | PRP | 2013年1月 | 1,000,000 | [35] | 最小の確率的メガ素数 |
注釈
- ^ プロス数でないフェルマー数の素因数は、例えば 6700417 (F5 の約数) や 274177 (F6 の約数) が挙げられる[8]。
- ^ 指数が131072 (217) であるものが320個[10]、262144 (218) であるものが52個[11]、524288 (219) であるものが13個[12]、1048576 (220) であるものが2個[13]存在する。
- ^ 2022年4月現在で知られている最大のワグスタッフ素数は28709桁の (295369+1)/3 である[17]。
関連項目
外部リンク
- The Top Twenty - 発見された素数の、種類別の上位20のリストと解説記事
- Henri & Renaud Lifchitz's PRP Top Records - 確率的素数の報告およびランキング
出典
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