モット多項式

数学におけるモット多項式（モットたこうしき、英: Mott polynomials）sn(x) とは、N. F. Mott (1932, p. 442) により電子の理論への応用の際に導入された多項式である。次の指数型母関数によって与えられる。

e x ( 1 − t 2 − 1 ) / t = ∑ n s n ( x ) t n / n ! . {\displaystyle e^{x({\sqrt {1-t^{2}}}-1)/t}=\sum _{n}s_{n}(x)t^{n}/n!.}

はじめのいくつかを例示すると次のようになる（オンライン整数列大辞典の数列 A137378）

s 0 ( x ) = 1 ; {\displaystyle s_{0}(x)=1;}
s 1 ( x ) = − 1 2 x ; {\displaystyle s_{1}(x)=-{\frac {1}{2}}x;}
s 2 ( x ) = 1 4 x 2 ; {\displaystyle s_{2}(x)={\frac {1}{4}}x^{2};}
s 3 ( x ) = − 3 4 x − 1 8 x 3 ; {\displaystyle s_{3}(x)=-{\frac {3}{4}}x-{\frac {1}{8}}x^{3};}
s 4 ( x ) = 3 2 x 2 + 1 16 x 4 ; {\displaystyle s_{4}(x)={\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{4};}
s 5 ( x ) = − 15 2 x − 15 8 x 3 − 1 32 x 5 ; {\displaystyle s_{5}(x)=-{\frac {15}{2}}x-{\frac {15}{8}}x^{3}-{\frac {1}{32}}x^{5};}
s 6 ( x ) = 225 8 x 2 + 15 8 x 4 + 1 64 x 6 ; {\displaystyle s_{6}(x)={\frac {225}{8}}x^{2}+{\frac {15}{8}}x^{4}+{\frac {1}{64}}x^{6};}

この多項式 sn(x) は、–2t/(1–t2) に対する対応するシェファー列を構成する(Roman 1984, p.130)。Arthur Erdélyi, Wilhelm Magnus, and Fritz Oberhettinger et al. (1955, p. 251) では、一般化超幾何関数（英語版） 3F0 によるこの多項式の陽的な表現が与えられた。

参考文献

  • Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955), Higher transcendental functions. Vol. III, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London, MR0066496 
  • Mott, N. F. (1932), “The Polarisation of Electrons by Double Scattering”, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character (The Royal Society) 135 (827): 429–458, doi:10.1098/rspa.1932.0044, ISSN 0950-1207, JSTOR 95868, https://jstor.org/stable/95868 
  • Roman, Steven (1984), The umbral calculus, Pure and Applied Mathematics, 111, London: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-594380-2, MR741185, Reprinted by Dover, 2005, https://books.google.co.jp/books?id=JpHjkhFLfpgC&redir_esc=y&hl=ja