傾き (数学)
![]() | 物理的形状の水平距離当たりの傾きについては「縦断勾配」を、ベクトル解析における勾配については「勾配 (ベクトル解析)」をご覧ください。 |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7d/Slope_picture.svg/220px-Slope_picture.svg.png)
数学における平面上の直線の傾き(かたむき、英: slope)あるいは勾配(こうばい、英: gradient)は、その傾斜の具合を表す数値である。ただし、鉛直線に対する傾きは定義されない。一般的な用語として水平は傾いているとは言われないが、数学では「傾き0」とされ水平も傾きに含まれる。
傾きは普通、直線上の2点間の変化の度合い、すなわち x の変化量に対する y の変化量の比率として定義される。また、同値な定義として、傾き m は傾斜角を θ として
と書くことができる。
曲線上の微分可能な1点に対しても、傾斜の具合を表す数値(微分係数)が、傾きの考え方により定義できる。
傾きの概念は、地理学および土木工学における斜度や勾配(たとえば道路など)に直接応用される。
定義
xy平面上の直線の傾きは、x座標の増加量に対する y座標の増加量の比率と定義される。式で書けば、直線の傾き m は
で記述される。ここで、ギリシア文字 "Δ"(デルタ)は、数学において「増加量」や「増分」を表す符牒としてよく用いられる。
増加量とは差のことなので、直線上の2点を任意に取り、それらを (x1, y1), (x2, y2) とする。このとき、m は
で求められる。
これらの等式から分かるように、鉛直線(y軸に平行な直線)の傾きは、ゼロ除算となり、定義されない。
(例)
直線が2点 , を通るとする。増加量として、P に対する Q の増加量と考えるか、Q に対する P の増加量と考えるかで符号の違いが現れるが、それらの商である傾きとしてはどちらも変わらない。ここでは P に対する Q の増加量を考える。
- xの増加量 Δx = 13 − 1 = 12
- yの増加量 Δy = 8 − 2 = 6
傾き m とは、y座標の増加量 Δx に対する y座標の増加量 Δy の比率のことなので、
である。
直線が2点 , を通るならば、傾きは
である。
傾斜角による記述
傾斜の度合いを表す傾きは、傾斜角と関係が深い。たとえば、傾き 1 の直線の傾斜角は 45° である。傾き −1 ならば、傾斜角を 0°~180° の範囲で考えると 135°、−90°~90° の範囲で考えると −45° である。なお、鉛直線の傾きは定義されなかったが、傾斜角は定義され、90° である。
傾斜角とは、直線と x軸の正の部分が作る角(反時計回りが正の向き)と定義される。取り得る範囲として 0° ≤ θ < 180° または −90° < θ ≤ 90° の2つの流儀がある(状況に応じて使い分ける)。
直線の傾きを m、傾斜角を θ とすると、2つの間には、三角法における正接函数を用いて
の関係がある。
性質
- 異なる2直線が平行であるための必要十分条件は、それらの傾きが等しいこと、または、傾きがともに定義されないことである。
- 異なる2直線が直交するための必要十分条件は、傾きの積が −1、または、傾きが 0 と定義されない場合であることである。
- たとえば、傾き の直線に垂直な直線の傾きは である。
- 傾き m の直線と傾き m' の直線が作る角 θ は
- で求められる(三角関数の加法定理)。
1次関数における傾き
傾き・切片
y は x の一次関数であるとする。このとき、x と y には y = ax + b と表される関係があり、そのグラフは直線となる。この直線の傾きは a に等しい。
- (証明)
- y = ax + b のグラフ上の任意の2点 P, Q を取る。P, Q の x座標をそれぞれ x1, x2 とすると、P, Q の座標は
- P (x1, ax1 + b), Q (x2, ax2 + b)
- である。
- xの増加量 Δx = x2 − x1
- yの増加量 Δy = (ax2 + b) − (ax1 + b)
- = ax2 − ax1
- = a (x2 − x1)
- 傾き m は、
- (証明終)
1次関数 y = ax + b において、a を傾きと呼ぶのに対して、b を y切片と呼ぶ。1次関数の y切片は、グラフ(直線)が y 軸と交わる点の y 座標に等しい。したがって、y = ax + b の形の方程式を「傾き・切片標準形」と呼ぶこともある。
1次関数 y = ax + b のグラフは、y軸平行の直線にはなりえないことに注意が必要である。
1次関数の決定
1次関数の傾き m と直線上の1点 (x1, y1) が既知ならば、1次関数の方程式は
で与えられる(これを「点・傾き標準形」と呼ぶことがある)。
(例)
1次関数のグラフが2点 (2, 8), (3, 20) を通るとする。1次関数の傾き m は
だから、直線の方程式は1点・傾き標準形で
- y − 8 = 12(x − 2)
と求まる。これはつまり
- y = 12x − 16
である。
直線の一般形
前述の通り、1次関数のグラフは全ての直線を表さない。2変数線型方程式の一般形
は全ての直線を表す。b ≠ 0 ならば、傾きが存在し、 である。
直線の切片形
の形の方程式は切片形と呼ばれる。このとき y は x の1次関数で、
- x切片が a
- y切片が b
となる。この直線の傾きは である。
方向ベクトルとの関係
直線の傾きが m であることは、その直線の方向ベクトルが (1, m) であることと同値である。
微分係数
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7a/Graph_of_sliding_derivative_line.gif)
曲線上の1点に対しても、そこで微分可能ならば、傾斜の具合を表す数値としての傾きが定義できる。
Δx と Δy を曲線上の2点間のそれぞれ x座標、y座標の増加量とすると、その2点を通る直線(弦という)の傾き m は
である。この2点間を狭めたときの m の極限が、そこを直線として近似した傾きと考えられる。これは接線の傾きであり、微分係数と呼ばれる。場所 x を変数とした
を、曲線の導関数と呼ぶ。
微分係数が定義できない例としては、次のような例がある。
- 三角屋根型
- y = |x| における x = 0
- 振動型
- (これは x = 0 で連続である)における x = 0
- ワイエルシュトラス関数
関連項目
- 勾配 (ベクトル解析): 多変数への一般化
- 平面における直線の標準形
- 縦断勾配