双極座標系 双極座標系 （そうきょくざひょうけい、英語 : Bipolar coordinates ）はアポロニウスの円束 を基底とした直交 座標系 である[1] 二中心双極座標（英語版） に対しても使用される。また、双角座標系（英語版） という座標系もある。
「双極」という言葉は2つの特異点（焦点）を持つ他の曲線（楕円曲線 、双曲線 、カッシーニの卵形線 等）を指して使われることもある。しかしながら、「双極座標」という言葉はこの項で述べるような座標系のことを指し、楕円座標系（英語版） のような他の曲線に関連した座標系には使われない。
双極座標系の幾何学的解釈。角度σは2つの焦点と点P によって形成されているが、 τ は焦点への距離の割合の対数である。定数 σ と τ に対応する円は赤と青で示され、直角に交わる（図の赤紫色の四角で示されている部分）。すなわち、赤と青の円は直交している。
双極座標系は2つの焦点 F 1 と F 2 を基底とする。右に掲載されている図で言えば、点 P の σ 座標は角 F 1 P F 2 に等しく、 τ 座標は距離d 1 とd 2 の比の自然対数 に等しい。
τ = ln d 1 d 2 {\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}} もし、直交座標系 において、焦点が (−a , 0) と (a , 0) に取られれば、点 P の座標は
x = a sinh τ cosh τ − cos σ , y = a sin σ cosh τ − cos σ {\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }},\qquad y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}} 座標 τ は − ∞ {\displaystyle -\infty } F 1 に近い点に対する値）から ∞ {\displaystyle \infty } F 2 に近い点に対する値）まで変化する。座標 σ はmod 2πと定義され、点 P が下半平面 に位置する場合は鋭角F 1 P F 2 の負とすることにより、-π から π の範囲に取るのが最適である。
x と y の等式を組み合わせることで以下を得る。
x + i y = a i cot ( σ + i τ 2 ) {\displaystyle x+iy=ai\cot \left({\frac {\sigma +i\tau }{2}}\right)} [2] [3] この等式は σ と τ が（対数分岐点が焦点にある）x+iy についての解析関数 の実部と虚部であることを示している。これにより、（等角写像 の一般的理論も踏まえると） σ と τ の曲線が直交することが証明される。すなわち、座標系が直交であることも同時に証明される。
σ と τ の曲線 定数 σ の曲線は非同心円に対応している。
x 2 + ( y − a cot σ ) 2 = a 2 sin 2 σ {\displaystyle x^{2}+\left(y-a\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}} これは2つの焦点に交わる。 定数 σ の円の中心は y 軸上に存在する。正の σ の円は x 軸上部に中心があるが、負の σ の円の中心は x 軸下部に存在する。 |σ | が大きくなると、円の半径は小さくなり、円の中心は原点 (0, 0) に近づく。|σ | = π のときに原点に達する。
定数 τ {\displaystyle \tau }
y 2 + ( x − a coth τ ) 2 = a 2 sinh 2 τ {\displaystyle y^{2}+\left(x-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}} これは焦点を囲むが、同心ではない。定数 τ の円の中心は x 軸上に存在する。正の τ の円は平面の右側 (x > 0) に存在するが、負の τ の円は平面の左側 (x < 0) に存在する。τ = 0 の曲線は y 軸 (x = 0) に等しい。τ が大きくなると、円の半径は小さくなり、円の中心が焦点に近づく。
直交座標から双極座標への推移は次の公式によってなされる。
τ = 1 2 ln ( x + a ) 2 + y 2 ( x − a ) 2 + y 2 {\displaystyle \tau ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {(x+a)^{2}+y^{2}}{(x-a)^{2}+y^{2}}}} と
π − σ = 2 arctan 2 a y a 2 − x 2 − y 2 + ( a 2 − x 2 − y 2 ) 2 + 4 a 2 y 2 {\displaystyle \pi -\sigma =2\arctan {\frac {2ay}{a^{2}-x^{2}-y^{2}+{\sqrt {(a^{2}-x^{2}-y^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}}}}}} である。
この座標系は次のような恒等式も持っている。
tanh τ = 2 a x x 2 + y 2 + a 2 {\displaystyle \tanh \tau ={\frac {2ax}{x^{2}+y^{2}+a^{2}}}} と
tan σ = 2 a y x 2 + y 2 − a 2 {\displaystyle \tan \sigma ={\frac {2ay}{x^{2}+y^{2}-a^{2}}}} である。
双極座標系におけるスケール因子を得るために、 x + i y {\displaystyle x+iy}
d x + i d y = − i a sin 2 ( 1 2 ( σ + i τ ) ) ( d σ + i d τ ) . {\displaystyle dx+i\,dy={\frac {-ia}{\sin ^{2}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(\sigma +i\tau ){\bigr )}}}(d\sigma +i\,d\tau ).} 共役複素数 を両辺に掛けることで次の式を得る。
( d x ) 2 + ( d y ) 2 = a 2 [ 2 sin 1 2 ( σ + i τ ) sin 1 2 ( σ − i τ ) ] 2 ( ( d σ ) 2 + ( d τ ) 2 ) . {\displaystyle (dx)^{2}+(dy)^{2}={\frac {a^{2}}{{\bigl [}2\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma +i\tau {\bigr )}\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma -i\tau {\bigr )}{\bigr ]}^{2}}}{\bigl (}(d\sigma )^{2}+(d\tau )^{2}{\bigr )}.} サインとコサインに関して、三角関数の公式を適用することで次の式を得る。
2 sin 1 2 ( σ + i τ ) sin 1 2 ( σ − i τ ) = cos σ − cosh τ , {\displaystyle 2\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma +i\tau {\bigr )}\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma -i\tau {\bigr )}=\cos \sigma -\cosh \tau ,} ここから以下の式が従う。
( d x ) 2 + ( d y ) 2 = a 2 ( cosh τ − cos σ ) 2 ( ( d σ ) 2 + ( d τ ) 2 ) . {\displaystyle (dx)^{2}+(dy)^{2}={\frac {a^{2}}{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}}{\bigl (}(d\sigma )^{2}+(d\tau )^{2}{\bigr )}.} そのため σ と τ のスケール因子は等しく、以下によって与えられる。
h σ = h τ = a cosh τ − cos σ . {\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}.} 直交座標 に関する一般公式からさまざまな結果が従う。 よって、ひとつの無限小の面積は以下に等しい。
d A = a 2 ( cosh τ − cos σ ) 2 d σ d τ {\displaystyle dA={\frac {a^{2}}{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}}}\,d\sigma \,d\tau } このとき、ラプラシアン は以下で与えられる。
∇ 2 Φ = 1 a 2 ( cosh τ − cos σ ) 2 ( ∂ 2 Φ ∂ σ 2 + ∂ 2 Φ ∂ τ 2 ) . {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right).} ∇ f {\displaystyle \nabla f} ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
双極座標系の古典的な応用のひとつがラプラス方程式 やヘルムホルツ方程式 等の偏微分方程式 の解を求めることである。これは双極座標系が変数分離 を許容するためである。例のひとつが、2つの平行する、互いに異なる直径の円筒形の導体を囲む電場 である。
ポーラープロッター（英語版） は対象となる図の経路を描くのに、双極座標系を用いている。
双極座標系は一部の3次元直交座標 の基底を成す。
双円筒座標系（英語版） は双極座標系を z 軸方向に平行移動することで得られる。z 軸は平面に対して上下方向の軸である。双球座標系 は双極座標系を x 軸で回転させることで得られる。x 軸は焦点を結ぶ軸である。トロイダル座標系（英語版） は双極座標系を y 軸で回転させることで得られる。y 軸は焦点を分ける軸である。
^ Eric W. Weisstein, Concise Encyclopedia of Mathematics CD-ROM , Bipolar Coordinates , CD-ROM edition 1.0, May 20, 1999 Archived December 12, 2007, at the Wayback Machine . ^ Polyanin, Andrei Dmitrievich (2002). Handbook of linear partial differential equations for engineers and scientists . CRC Press. p. 476. ISBN 1-58488-299-9. https://books.google.com/books?id=NLnwhsevQGEC&pg=PA476#v=onepage&q&f=false ^ Happel, John; Brenner, Howard (1983). Low Reynolds number hydrodynamics: with special applications to particulate media . Mechanics of fluids and transport processes. 1 . Springer. p. 497. ISBN 978-90-247-2877-0. https://books.google.com/books?id=tWO2xJZbweIC&pg=PA497#v=onepage&q&f=false Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Bipolar coordinates”, Encyclopedia of Mathematics , Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Bipolar_coordinates Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers , McGraw-Hill. 
![{\displaystyle (dx)^{2}+(dy)^{2}={\frac {a^{2}}{{\bigl [}2\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma +i\tau {\bigr )}\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma -i\tau {\bigr )}{\bigr ]}^{2}}}{\bigl (}(d\sigma )^{2}+(d\tau )^{2}{\bigr )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdabb55a6189bc11ed8a5febcfd33169e9b179cf)
