合成作用素
数学において、記号 φ との合成作用素(ごうせいさようそ、英: composition operator)Cφ とは、
という決まりによって定義される線型作用素のことを言う。ここで f ∘ φ は合成写像を意味する。圏論の用語を用いると、合成作用素とは、可測函数の空間上の引き戻しである。したがって引き戻しが押し出し(英語版)の随伴となるのと同様に、合成作用素は転送作用素の随伴となる。すなわち合成作用素は逆像函手(英語版)である。
合成作用素の研究は AMS category 47B33 によりカバーされている。
作用素論
合成作用素の定義域は適当なバナッハ空間(これは、しばしば正則函数からなる)に取るのが普通である。例えば、ハーディ空間やベルグマン空間がそのような空間として挙げられる。合成作用素の研究における興味深い問題は、作用素のスペクトル性質が函数空間にどのように依存するか、という点に関するものが多い。またその他の問題として、Cφ がコンパクトであるかあるいはトレースクラスであるか、というものがある。その答えは通常、函数 φ がある領域の境界上でどのように振る舞うか、という点に依存して変わる。
応用
数学において、合成作用素はしばしば、例えばバーリング=ラックスの定理(英語版)やウォルドの分解(英語版)などのシフト作用素の研究に現れる。シフト作用素は一次元スピン格子として研究できる。合成作用素はまたアレクサンドロフ=クラーク測度(英語版)の理論にも現れる。
合成作用素の固有方程式はシュレーダーの方程式であり、その主固有函数 f(x) はしばしばシュレーダー函数やケーニヒス函数(英語版)と呼ばれる。
物理学の、特に力学系の分野において、合成作用素はしばしば、数学者バーナード・コープマン(英語版)の名にちなんで、コープマン作用素(Koopman operator)と呼ばれる[1][2]。この作用素はフロベニウス=ペロン作用素あるいは転送作用素の左随伴である。
関連項目
参考文献
- ^ B.O. Koopman, "Hamiltonian systems and transformations in Hilbert space", (1931) Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA, 17, pp.315-318.
- ^ Pierre Gaspard, Chaos, scattering and statistical mechanics, (1998) Cambridge University Press
- C. C. Cowen and B. D. MacCluer, Composition operators on spaces of analytic functions. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 1995. xii+388 pp. ISBN 0-8493-8492-3.
- J. H. Shapiro, Composition operators and classical function theory. Universitext: Tracts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1993. xvi+223 pp. ISBN 0-387-94067-7.