量子光学における1つのモードの変位演算子(へんいえんざんし)とは、次のようなシフト演算子である。
![{\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=\exp \left(\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{\ast }{\hat {a}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63ac3cbb7443b7b72d4f5c7c7c792df3d75f5c79)
ここで
は光学位相空間(英語版)での変位の大きさ、
はその変位の複素共役、
と
は生成消滅演算子である。 この名前は位相空間での局在状態を大きさ
だけ変位できることに由来する。 また真空状態に作用することでコヒーレント状態に変位させる。
![{\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )|0\rangle =|\alpha \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e17e6da8ab98e6101e4b931daa1f70e4aa135723)
はコヒーレント状態で、消滅演算子の固有状態である。
性質
変位演算子はユニタリー演算子であり、次に従う。
![{\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {D}}^{\dagger }(\alpha ){\hat {D}}(\alpha )={\hat {1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82d2a99b5d13d983c3dd9cf3d5fbe0a9883f97a)
変位演算子のエルミート共役は逆の大きさ(
)の変位である。
![{\displaystyle {\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {D}}(-\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/127cd438745c9420c4a4a6f64039915b2a4f469b)
生成消滅演算子に変位演算子による相似変換をすると、生成消滅演算子が変位される。
![{\displaystyle {\hat {D}}^{\dagger }(\alpha ){\hat {a}}{\hat {D}}(\alpha )={\hat {a}}+\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0bb4fc99016034bde9637df8c5fceab796e2978)
![{\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {a}}{\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {a}}-\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52ac94cd31d2bc2fb5e1a29fb8ad4a9ce09716f)
2つの変位演算子の積も変位演算子である。位相因子は別として、2つの個々の変位を足し合わせたトータルの変位を行う。
![{\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {D}}(\beta )=e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}{\hat {D}}(\alpha +\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58170373e5d6697140e58901a8daa0e27c15d191)
これはベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式(英語版)を使うと証明できる(
)。これが固有ケットに作用すると位相因子
が現れるが、これは物理的には意味がない。[1]
別の表現
変位演算子を表す2つの方法がある。それぞれ、
![{\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{+\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}e^{-\alpha ^{*}{\hat {a}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/448e1579975819e0739a2fc44c848a1225e7a993)
![{\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=e^{+{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{-\alpha ^{*}{\hat {a}}}e^{+\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47847340418ded712d2cfb22eb3e384f81364485)
多重モードの変位
変位演算子は、多重モードの変位に一般化できる。 多重モードの生成演算子は次のように定義される。
![{\displaystyle {\hat {A}}_{\psi }^{\dagger }=\int d\mathbf {k} \psi (\mathbf {k} ){\hat {a}}^{\dagger }(\mathbf {k} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fcffec3561d5585475d52f629026e83d4f0c584)
ここで
は波数ベクトルであり、大きさは振動数
とつながっている。
![{\displaystyle |\mathbf {k} |=\omega _{\mathbf {k} }/c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a28ff0a6457717976944214c49092f5a2d25e793)
この定義を使うと、多重モード変位演算子は次のように書ける。
![{\displaystyle {\hat {D}}_{\psi }(\alpha )=\exp \left(\alpha {\hat {A}}_{\psi }^{\dagger }-\alpha ^{\ast }{\hat {A}}_{\psi }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ace94d9819e48d8250cb7a76855411bbd7d4f1)
また多重モードのコヒーレント状態は次のように定義できる。
![{\displaystyle |\alpha _{\psi }\rangle \equiv {\hat {D}}_{\psi }(\alpha )|0\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d03cb4da8f67d52c8e2f03d87e5cb0d3fe1900a)
脚注
- ^ Christopher Gerry and Peter Knight: Introductory Quantum Optics. Cambridge (England): Cambridge UP, 2005.
関連項目