微分方程式 |
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![ナビエ–ストークス方程式。障害物の周囲の気流のシミュレーションに用いられる。](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Navier_Stokes_Laminar.svg/235px-Navier_Stokes_Laminar.svg.png) |
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分類 |
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タイプ | 変数のタイプにより |
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- 自律微分方程式
- 複素
- Coupled / Decoupled
- 完全(英語版)
- 斉次(英語版) / 非斉次(英語版)
| 特徴 |
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解 |
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常微分方程式(じょうびぶんほうていしき、英: ordinary differential equation, O.D.E.)とは、微分方程式の一種で、未知関数が本質的にただ一つの変数を持つものである場合をいう。すなわち、変数 t の未知関数 x(t) に対して、(既知の)関数 F を用いて
![{\displaystyle F(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n)}(t))=0\quad \left(x^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}x(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af627f1710d225b1f90ec9c8d67413bb25a5c993)
という形にできるような関数方程式を常微分方程式と呼ぶ。x(k)(t) は未知関数 x(t) の k 階の導関数である。未知関数が単独でない場合には、関数の組をベクトルの記法を用いて表せば次のようになる。
![{\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))={\boldsymbol {0}}\quad \left({\boldsymbol {x}}^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}{\boldsymbol {x}}(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ba34d45c78ee398b23641f698fc91320183d733)
ここで F, x は
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {F}}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))=\left(F_{1}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t)),\dots ,F_{r}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))\right),\\&{\boldsymbol {x}}(t)=\left(x_{1}(t),\dots ,x_{m}(t)\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b598c4548e0aba48983e3016b8f86fbb410907)
を表す。この方程式系はしばしば連立常微分方程式と呼ばれる。
また、多くの n 階常微分方程式は次のような形に書くことができる。
![{\displaystyle x^{(n)}(t)=f(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n-1)}(t))\quad \left(x^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}x(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf59cbb5f4f9f1dffbf9db2a8cd4574d28106b50)
常微分方程式の理論およびその研究を微分方程式論という。あるいはまた関数方程式論の名で微分方程式論を指すこともある。
線型常微分方程式
常微分方程式が
![{\displaystyle {\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{n-1}(t){\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{0}(t)x=b(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b303617a1f7587d4c661e4d1e3d140311b0c9d72)
の形に表されるとき線型であるという。ただし、ak(t) および b(t) はt を変数とする既知の関数である。b(t) = 0 の方程式は特に斉次 (homogeneous) な方程式と呼ばれ、そうでない方程式は非斉次 (inhomogeneous) な方程式と呼ばれる。
非線型常微分方程式
線型でない常微分方程式は非線型であると言われる。非線型方程式の解は一般に、線型方程式のそれに比べて複雑な様相を呈する。そのような例として、ローレンツ方程式やパンルヴェ方程式などがある。一方、求積法で解ける形の非線型方程式も数多く知られている[1][2][3]。 以下に例を挙げておく [1][3][4]。
![{\displaystyle y=x{\frac {\;dy\;}{dx}}+x^{n}f{\Bigl (}{\frac {\;dy\;}{dx}}{\Bigr )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1106f11c03882c6a34bcfbbbd24e30233506c4a5)
![{\displaystyle y=x{\frac {\;dy\;}{dx}}+y^{n}f{\Bigl (}{\frac {\;dy\;}{dx}}{\Bigr )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e379ee4af753cf693231606097186b79d926bf2)
ここに、n は実数であり、f(·) は既知関数である。
m, n は実数,ただし,m ≠ 0,f は既知関数。
A(x),F は既知関数。
A(x ),B(x ),F は,いずれも既知関数。
![{\displaystyle y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+P(x)\!\left({\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}\right)^{\!\!n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c82e653b564be3b87b7e2cacf78dc8320cd41101)
![{\displaystyle y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+f\!\!\,\left({\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9be44e67682a0f937870c3f953821a031500a4f)
上記の P(x) と f(·) は既知関数とする。
n は実数,ただし,n ≠ 2,f は既知関数。
f(y) は既知関数。
α, γ, n は実数.ただし,n ≠ −1。
f (·) は既知関数。
は実数.ただし,
。
連立常微分方程式
連立常微分方程式(simultaneous ordinary differential equations)は、 1 つの独立変数 t と複数の未知関数 x1(t),..., xn(t) およびその導関数により構成される複数の方程式の組である。例えば、比較的簡単な例として、t の 2 つの未知関数を x1(t), x2(t) とする。それらの一階の導関数を x'1(t), x'2(t) として、
![{\displaystyle F\left(t,x_{1},x_{2},x'_{1}(t),x'_{2}(t)\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccf53995c50aec1d010079d31d8acc8433f7ffe0)
![{\displaystyle G\left(t,x_{1},x_{2},x'_{1}(t),x'_{2}(t)\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84211835b16d4275a0068723fb88a1058f4137c2)
は一つの連立常微分方程式である。ただし、F, G は既知関数である。
一般の連立常微分方程式は、1 つの独立変数と m 個の未知関数およびその n 階の導関数を含み、複数個の常微分方程式の組になる。
![{\displaystyle F_{k}\left(t;x_{1},\dots ,x_{m};x_{1}^{(1)},\dots ,x_{m}^{(1)};\dots ;x_{1}^{(n)},\dots ,x_{m}^{(n)}\right)=0,\qquad k=1,2,\dots ,r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87f51a5bfdbccd337417635422fc7c1c3aecd63)
ここで xi(j)(t) は、未知関数 xi(t) の j 階の導関数である (i = 0, 1,..., m; j = 0, 1,..., n)。 なお、連立常微分方程式を常微分方程式系(system of ordinary differential equations)と呼ぶこともある。 これら r 個の常微分方程式すべてを満足する関数の組 x1(t),..., xm(t) をその解という。
具体的な例を一つ示す。独立変数 x の未知関数を y, z とし、a, b, c, d を定数とすると、
![{\displaystyle {\frac {\,dy\,}{dx}}=az+b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eb7dd6b5ce14176e55264ee4d93727a72294a33)
![{\displaystyle {\frac {dz}{\,dx\,}}=cy+d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e5123603d30a24ee70e606ef6150600ce87e200)
は、一階の連立常微分方程式の例である。一般的な連立常微分方程式は、求積法で解くのは困難であるが、一般性を含む連立常微分方程式の例として、求積法で解ける連立常微分方程式が多少知られている[1][2][3]。 一例を挙げておく[3][5]。
![{\displaystyle {\begin{cases}\;\,\displaystyle F\!\left(y,\;\;{\frac {\,dz\,}{dx}}\right)=0,\\[3ex]\;\,\displaystyle G\!\left(z,\;\;{\frac {\,dw\,}{dx}}\right)=0,\\[3ex]\;\,\displaystyle H\!\left(w,\;\;{\frac {\,dy\,}{dx}}\cdot \left({\frac {\,dw\,}{dx}}\right)^{\!\!-1}\;\right)=0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8835582fca1a9190a8b807a28289cec39d58637f)
x は独立変数であり、y, z, w は x を変数とする未知関数である。また、F, G, H を既知関数とする[5]。
出典
[脚注の使い方]
- ^ a b c d e 長島 隆廣 『常微分方程式80余例とその厳密解』 近代文芸社、2005年 ISBN 4-7733-7282-6. 国立国会図書館蔵書, 請求記号:MA117-H55(東京 本館書庫)。
- ^ a b 長島 隆廣[常微分方程式134例とその解]丸善出版サービスセンター,1982年5月発行,国立国会図書館・請求記号 MA117-111,全国書誌番号 82049441
- ^ a b c d e f 長島 隆廣『常微分方程式80余例と求積法による解法』2018年12月 researchmap で公開,全編PDF: https://researchmap.jp/T_Nagashima または, https://researchmap.jp/multidatabases/multidatabase_contents/detail/263160/16f8fddfba5ab789f6475ac2962bfd31?frame_id=539358
- ^ a b 長島 隆廣 『数学セミナー』,日本評論社,1986年5月号,第25巻,第5号,通巻294号,pp.94-95。
- ^ a b 長島 隆廣 『数学セミナー』,日本評論社,1988年3月号,第27巻,第3号,通巻316号,p.98。
関連文献
和書
- 藤原松三郎.(1930), 常微分方程式論.岩波書店.
- 『常微分方程式論』(1930)藤原松三郎著の現代仮名遣い版
- 吉江琢児.(1947), 微分方程式論. 共立出版.
- フォーサイス 著,粟野保, 末岡清市, 石津武彦 共訳. (1947), 微分方程式 上巻. 朝倉書店.
- 坂井秀隆. (2015). 常微分方程式. 東京大学出版会.
- 大谷光春. (2011). 常微分方程式論. サイエンス社.
- 福原満洲雄「常微分方程式 第2版」岩波全書. 岩波書店.
- 常微分方程式, 朝倉書店, 高野恭一.
- 常微分方程式と解析力学, 木村俊房・飯高茂・西川青季・岡本和夫・楠岡成雄 (編集) 伊藤秀一著, 共立講座 21世紀の数学 第11巻ISBN 978-4-320-01563-0, 1998年01月, 共立出版.
- ウイルス感染と常微分方程式, 岩見真吾, 佐藤佳, 竹内康博 著(シリーズ: 現象を解明する数学 / 三村昌泰, 竹内康博, 森田善久 編集)共立出版, 2017.4
- 常微分方程式 新版, レフ・セミョーノヴィチ・ポントリャーギン/千葉克裕 共立出版 1981年02月
- 常微分方程式の局所漸近解析, 柴田正和 森北出版 2010年08月
洋書
- Hartman, Philip (2002) [1964], Ordinary differential equations, Classics in Applied Mathematics, 38, Philadelphia: en:Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-510-1, MR 1929104
- Ince, Edward L. (1944) [1926], Ordinary Differential Equations, en:Dover Publications, New York, ISBN 978-0-486-60349-0, MR 0010757
- Witold Hurewicz, Lectures on Ordinary Differential Equations, en:Dover Publications, ISBN 0-486-49510-8
- Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
- Polyanin, A. D. and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)", Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
- Grimshaw, R. (2017). Nonlinear ordinary differential equations. Routledge.
- Arnolʹd, V. I., Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations. en:Springer Science & Business Media.
- Arnolʹd, V. I., Ordinary differential equations. Springer.
- Wolfgang Walter, Ordinary differential equations. Springer.
- Logemann, H., & Ryan, E. P. (2014). Ordinary differential equations: Analysis, qualitative theory and control. Springer.
- Hermann, M., & Saravi, M. (2014). A First Course in Ordinary Differential Equations. Analytical and Numerical Methods, Springer India.
- Chicone, C. (2006). Ordinary differential equations with applications. Springer Science & Business Media.
関連項目
方程式
数値計算
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