等角共役
幾何学において、等角共役(とうかくきょうやく、英:isogonal conjugate,isogonal conjugation)または同角共軛は、三角形△ABCと点Pについて、A, B, Cの角の二等分線で、直線PA, PB, PCを鏡映した線の交点P*のこと、またはPとP*の関係である。
A, B, Cの角の二等分線で、直線PA, PB, PCを鏡映した線(等角共役線、isogonal lines)が一点で交わることはチェバの定理の逆で示すことができる[1]。 Pに対して、P*を等角共役、または等角共役点と言う。P*の等角共役点はPである。
例
- 内心と傍心の等角共役点はその点自身である。
- 垂心Hの等角共役点は外心Oである。
- 重心Gの等角共役点は類似重心Kである(類似重心の定義)。
- フェルマー点の等角共役点は等力点である。
- 2つのブロカール点は互いに等角共役である。
性質
三線座標系で、 とする。ただしは頂点でないとする。の等角共役点はである。 故に、Xの等角共役点はX –1で表されることもある。三角形の中心の集合Sで三線座標の積(trilinear product)は以下の式で定義される。
したがってSをアーベル群として見ると、Xの逆元はX –1である。
関数としての等角共役として、等角共役は直線や円にも適用できる。直線の等角共役は外接円錐曲線になる。直線が外接円とそれぞれ0,1,2点で交わるとき、その等角共役は楕円、放物線、双曲線となる[2]。例えばブロカール軸、オイラー線の等角共役はそれぞれキーペルト双曲線、ジェラベク双曲線である。外接円の等角共役は無限遠直線である。
幾つかの有名な三次曲線(ノイベルグ三次曲線や17点3次曲線、McCay Cubic)はXとX –1がともに線上にある三次曲線(自己等角共役、self-isogonal-conjugate)である[3]。
他の定義
PをBC, CA, ABで鏡映した点をPa, Pb, Pcとする。円PaPbPcの中心はPの等角共役点である[4]。これはPの垂足円の中心が、その等角共役点との中点となるためである。
関連
参考文献
外部リンク
- Interactive Java Applet illustrating isogonal conjugate and its properties
- MathWorld
- Pedal Triangle and Isogonal Conjugacy