累積的階層

数学、特に集合論において、累積的階層（るいせきてきかいそう、Cumulative hierarchy）とは順序数 α {\displaystyle \alpha } で添え字づけられた集合 W α {\displaystyle W_{\alpha }} の族で、以下を満たすものを指す。

  • W α ⊆ W α + 1 {\displaystyle W_{\alpha }\subseteq W_{\alpha +1}}
  • λ {\displaystyle \lambda } が極限順序数のとき、 W λ = ⋃ α < λ W α {\textstyle W_{\lambda }=\bigcup _{\alpha <\lambda }W_{\alpha }}

場合によって、 W α + 1 ⊆ P ( W α ) {\displaystyle W_{\alpha +1}\subseteq {\mathcal {P}}(W_{\alpha })} であることや、 W 0 ≠ ∅ {\displaystyle W_{0}\neq \emptyset } であることを条件に入れることもある。[要出典]

累積的階層をなしている W = ⋃ α ∈ O n W α {\textstyle W=\bigcup _{\alpha \in \mathrm {On} }W_{\alpha }} の和はしばしば集合論のモデルになる。[要出典]

単純に"累積的階層"と言った場合、フォン・ノイマン宇宙の累積的階層 V α {\displaystyle \mathrm {V} _{\alpha }} を指すことが多い。これは V α + 1 = P ( W α ) {\displaystyle \mathrm {V} _{\alpha +1}={\mathcal {P}}(W_{\alpha })} で定めるものであり Zermelo (1930) で導入された。

反映原理

累積的階層は反映原理の一形態を次のような形で満たす: 集合論のいかなる論理式も、それが累積的階層の総和 W {\displaystyle W} で成立するのならば、あるステージ W α {\displaystyle W_{\alpha }} でも成立している。

例

  • フォンノイマン宇宙は累積的階層 V α {\displaystyle \mathrm {V} _{\alpha }} によって構成される。
  • 構成可能宇宙の L α {\displaystyle \mathrm {L} _{\alpha }} も累積的階層をなしている。
  • 強制法によって構成されるブール値モデルも累積的階層を用いて構成される。
  • 何かしらの集合論のモデル (正則性公理は満たしていないかもしれない) の整礎的集合全体は累積的階層をなし、その中では正則性公理が成立する。

参考文献

  • Jech, Thomas (2003). Set Theory. Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-44085-7. Zbl 1007.03002 
  • Zermelo, Ernst (1930). “Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre”. Fundamenta Mathematicae 16: 29–47. doi:10.4064/fm-16-1-29-47. https://www.impan.pl/en/publishing-house/journals-and-series/fundamenta-mathematicae/all/16/0/92877/uber-grenzzahlen-und-mengenbereiche.