数学において、虚数単位 i の i 乗(i の i じょう)すなわち ii とは、ある可算無限個の正の実数である。ネイピア数 e と円周率 π を用いて、
![{\displaystyle i^{i}=e^{-(4n+1)\pi /2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4748427ecc2d387e576532771a0961d63e6c0dcb)
と書ける(n は任意の整数)。n = 0 としたとき、ii は主値
![{\displaystyle i^{i}=e^{-\pi /2}={\frac {1}{\sqrt {e^{\pi }}}}=0.20787957\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22fe04607aeea435f6c0b0aba4c4e62d58081851)
を取る(オンライン整数列大辞典の数列 A49006)。
計算の方法
まず i の偏角は(ラジアンで) π/2 + 2nπ(n は任意の整数)であることに注意する。
![{\displaystyle i^{i}=e^{i\log i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19dc7cd2ae543e13e67c02ae2de596e08f3e332f)
ただし log は複素対数函数(多価関数)であり、log i は
![{\displaystyle \log i=\ln |i|+i\arg i=\ln 1+i\left({\frac {\pi }{2}}+2n\pi \right)=i\left({\frac {\pi }{2}}+2n\pi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67bc8f7c1995b0ce8ed816270dcc579ac82af9f1)
そして指数関数 ex は、冪級数
![{\displaystyle e^{x}=\exp(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4839e210a025675166e720efbc234a0a74679c07)
等により定義され、虚数乗も計算できる。
ここで ln は実数値関数の自然対数であり
![{\displaystyle i^{i}=e^{i\cdot i\left(\pi /2+2n\pi \right)}=e^{-\left(\pi /2+2n\pi \right)}=e^{-(4n+1)\pi /2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e54eb028693ab0c670f949e365b10cfcfde9c0)
と計算される。n = ... , −2, −1, 0, 1, 2, ... とおくと
![{\displaystyle i^{i}=\ldots ,\,e^{7\pi /2},\,e^{3\pi /2},\,e^{-\pi /2},\,e^{-5\pi /2},\,e^{-9\pi /2},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4130082a437e9e05d8043b3097cbb3fa619c2e62)
となる。主値は冒頭の通り n = 0 のときの e−π/2 である。
数学的性質
ii の取る値はどれも正の実数であるが、e−(π/2 + 2nπ) の整数 n を適当に小さくとれば、どんな実数よりも大きな数になり、逆に n を大きくとれば、どんな正の実数よりも小さな数になる。したがって ii には最大値も最小値も存在しない。
ii の主値 e−π/2 は
![{\displaystyle e^{-\pi /2}=e^{(i/2)\operatorname {Log} (-1)}=(-1)^{i/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5c63773454204f3ec9ef101a377c798ab2f19a1)
であるから、ゲルフォント=シュナイダーの定理より、超越数であるため、無理数である。同様に他の ii の値も超越数である。
なお (−i)−i も
![{\displaystyle (-i)^{-i}=e^{-i\log(-i)}=e^{-(\pi /2-2n\pi )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc113b7847573c05f3d7ec3eb571945f8435f71)
なので、(−i)−i = ii である。
テトレーション
の極限は実数ではない複素数に収束する (Macintyre 1966)。
![{\displaystyle {\begin{aligned}i^{i^{i^{.^{.^{.}}}}}&=\lim _{n\to \infty }{i\rightarrow n\rightarrow 2}\\&=\lim _{n\to \infty }{i\uparrow \uparrow n}=\lim _{n\to \infty }{(i\uparrow )^{n}i\uparrow i}\\&=-{\frac {W(-\log i)}{\log i}}={\frac {2i}{\pi }}\,W{\Bigl (}{-{\frac {\pi }{2}}i}{\Bigr )}\\&\approx 0.438283+0.3605924\cdot i.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e03cd5b80745bfddaa7a71450eb48f04cc24728)
ただし、W はランベルトのW関数である。
関連項目
外部リンク
- Weisstein, Eric W. "i". mathworld.wolfram.com (英語).