数学において、q二項定理(英: q-binomial theorem)は二項定理のq-類似である[1]。超幾何級数
の和は通常の二項定理
![{\displaystyle _{1}F_{0}(a;z)=F(a,b,b;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}}{(1)_{n}}}z^{n}=(1-z)^{-a}\qquad (|z|<1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33b6a3daf06f65869afa09ee694d5530a0694a08)
で与えられる。これに倣い、q超幾何級数
の和を与える公式
![{\displaystyle _{1}\phi _{0}\left[{\begin{matrix}a\\-\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}\qquad (|q|<1,|z|<1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd7f8471a71ed5cf633947a8c59ca5a6235f4a1c)
をq二項定理と呼ぶ。ただし、
はポッホハマー記号、
はqポッホハマー記号である。
証明
右辺を
として関数方程式を導く。
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)f(a,z;q)&=(1-z)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}\\&=\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}\right)-z\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}-z{\frac {(a;q)_{n-1}}{(q;q)_{n-1}}}z^{n-1}\right)\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n-1}}{(q;q)_{n}}}\left((1-aq^{n-1})z^{n}-(1-q^{n})z^{n}\right)\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n-1}}{(q;q)_{n}}}\left((1-aq^{n-1})q^{n}z^{n}-a(1-q^{n})q^{n-1}z^{n}\right)\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(qz)^{n}-az{\frac {(a;q)_{n-1}}{(q;q)_{n-1}}}(qz)^{n-1}\right)\\&=\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(qz)^{n}\right)-az\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(qz)^{n}\\&=(1-az)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(qz)^{n}\\&=(1-az)f(a,qz;q)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add2e422ac1556cf0d9666f9ff1f4938f7fb7662)
これにより、左辺を得る。
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(a,z;q)&={\frac {1-az}{1-z}}f(a,qz;q)\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {(1-az)_{n}}{(1-z)_{n}}}f(a,q^{n}z;q)\\&={\frac {(1-az)_{\infty }}{(1-z)_{\infty }}}f(a,0;q)\\&={\frac {(1-az)_{\infty }}{(1-z)_{\infty }}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2987dd1cb77bb8d2d52c13c8d2053f6087eafcc)
別証明
左辺を
として関数方程式を導く。
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)g(a,z;q)&=(1-z)\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-azq^{n}}{1-zq^{n}}}\\&=(1-z){\frac {1-az}{1-z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-azq^{n}}{1-zq^{n}}}\\&=(1-az)\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-aqzq^{n}}{1-qzq^{n}}}\\&=(1-az)g(a,qz;q)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5c05843b1a1a067cdd407a8586f1c4bda6823e)
をテイラー級数に展開して
の係数を比較すると
![{\displaystyle {\begin{aligned}&g(a,qz;q)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\\&(1-z)\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}=(1-az)\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(qz)^{n}\\&1+\sum _{n=1}^{\infty }(c_{n}-c_{n-1})z^{n}=1+\sum _{n=1}^{\infty }(c_{n}-ac_{n1})(qz)^{n}\\&c_{n}-c_{n-1}=c_{n}q^{n}-ac_{n-1}q^{n-1}\\&c_{n}={\frac {1-aq^{n-1}}{1-q^{n}}}c_{n-1}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bdc9c0425cc3e75b3521fe94f2a9cb375cc9e72)
となり、
であるから
![{\displaystyle c_{n}={\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0763114455a52dff2c828fa0cc2f92825dc4279e)
となる。これにより、右辺を得る。
![{\displaystyle g(a,z;q)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dd03179cbbd1f02edabb5c66077e7d8ff7416c1)
コーシーの二項定理
コーシーの二項定理はq二項定理の特殊な場合である[2]。
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}=\prod _{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)\qquad (|q|<1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5cf4c1ffb61a36756830cd12e69d0f07f23d43a)
ただし、
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5f6dbff6713d46884059b4ada0ed8cb5e78dfbd)
はq二項係数である。q二項定理に
を代入すると
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(q^{-N};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-q^{N+1}y)^{n}={\frac {(-qy;q)_{\infty }}{(-q^{N+1}y;q)_{\infty }}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1+yq^{1+k}}{1+yq^{N+1+k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64c1d271b21e4f34e4271937ce05c61942b6cf6e)
となるが、左辺は
で
となり、右辺は
の分子が
の分母を打ち消す。従って、
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{N}{\frac {(q^{-N};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-q^{N+1}y)^{n}=\prod _{k=0}^{N-1}{\frac {1+yq^{1+k}}{1+yq^{N+1+k}}}=\prod _{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd19908b997d5be7058fb98e9f287bdc6892ae3d)
である。左辺はqポッホハマー記号の変換式
により、
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(q^{-N};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-q^{N+1}y)^{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(q^{-N+n-1}q^{-n+1};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-1)^{n}q^{n(N+1)}y^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-q^{-N+n-1})^{n}q^{-n(n-1)/2}(q^{N-n+1};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-1)^{n}q^{n(N+1)}y^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{-n(N+1)}q^{n(n+1)/2}(q^{N-n+1};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-1)^{n}q^{n(N+1)}y^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {y^{n}q^{n(n+1)/2}(q^{N-n+1};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {y^{n}q^{n(n+1)/2}(q;q)_{N}}{(q;q)_{N-n}(q;q)_{n}}}\\&=\sum _{n=0}^{N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13e27782bf9d81c8d07e01b29aaff3406bc240e1)
となる。
出典
- ^ Wolfram Mathworld: q-Binomial Theorem
- ^ Wolfram Mathworld: Cauchy Binomial Theorem