Sumset

曖昧さ回避 集合の合併については「和集合」をご覧ください。

加法的組合せ論（英語版）において、加法群 G の 2つの部分集合 A と B の和（わ、英: sum）とは、A と B の元ごとの和全体の成す集合

A + B = { a + b : a ∈ A , b ∈ B } {\displaystyle A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}}

を言う。同じものを、アフィン幾何学周辺分野ではミンコフスキー和（英語版） (Minkowski sum) とも呼ぶ。例えば線型代数学において、二つの線型部分空間 U, V の和空間（英語版）(sum space) U + V はこの意味の和集合として定義される。

A の n-重反復和集合 (n-fold iterated sumset)（n-倍集合）とは

n A = A + ⋯ + A ⏟ n {\displaystyle nA=\underbrace {A+\dotsb +A} _{n}}

のこととする（ここで、n は右辺の項数である）。

加法的組合せ論や加法的数論（英語版）の多くの問題や結果を、この和集合を用いて言い表すことができる。例えば、ラグランジュの四平方定理は次の形で表すことができる。

4 ◻ = N . {\displaystyle 4\Box =\mathbb {N} .}

ここに、 ◻ {\displaystyle \Box } は平方数全体の成すの集合、N は自然数全体の成す集合である。多くの研究がなされる主題として、"small doubling"（小さい倍化）を持つ集合（すなわち、2-倍集合 A + A の大きさが（A に比べて）小さくなるような集合 A）の問題がある。フレイマンの定理（英語版）(Freiman's theorem)の例を参照。

関連項目

  • ミンコフスキー演算（英語版）(Minkowski addition/subtraction)
  • 制限和集合（英語版）(Restricted sumset)
  • シドン集合（英語版）(Sidon set)
  • sum-free set
  • シュニレルマン密度
  • シャプレー・フォークマンの補題（英語版）(Shapley–Folkman lemma)

参考文献

  • Henry Mann (1976). Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory (Corrected reprint of 1965 Wiley ed.). Huntington, New York: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 0-88275-418-1. http://www.krieger-publishing.com/subcats/MathematicsandStatistics/mathematicsandstatistics.html 
  • Nathanson, Melvyn B. (1990). “Best possible results on the density of sumsets”. In Berndt, Bruce C.; Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini et al.. Analytic number theory. Proceedings of a conference in honor of Paul T. Bateman, held on April 25-27, 1989, at the University of Illinois, Urbana, IL (USA). Progress in Mathematics. 85. Boston: Birkhäuser. pp. 395–403. ISBN 0-8176-3481-9. Zbl 0722.11007 
  • Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets. Graduate Texts in Mathematics. 165. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94655-1. Zbl 0859.11003 
  • Terence Tao and Van Vu, Additive Combinatorics, Cambridge University Press 2006.

外部リンク

  • Noe, Tony. "Sumset". mathworld.wolfram.com (英語).
  • Weisstein, Eric W. "Minkowski Sum". mathworld.wolfram.com (英語).
  • sumset - PlanetMath.org（英語）
  • Minkowski sum - PlanetMath.org（英語）