슈뢰딩거-HJW 정리

양자 정보 이론 및 양자광학에서 슈뢰딩거-HJW 정리(Schrödinger–HJW theorem)는 순수 양자 상태의 앙상블로서 양자계의 섞인 상태를 실현하고 밀도 연산자의 해당 순화 사이의 관계에 대한 결과이다. 이 정리는 물리학자 에르빈 슈뢰딩거와^[1]윌리엄 우터스 및 수학자 레인 휴스턴, 리차드 조자의 이름을 따서 명명되었다.^[2] 이 결과는 또한 니콜라스 기신^[3]과 Nicolas Hadjisavvas(부분적이긴 하지만)에 의해 독립적으로 발견되었으며, 에드윈 제인스^[4][5]의 작업을 기반으로 구축되었으며, 그 중 상당 부분도 마찬가지로 데이비드 머민에 의해 독립적으로 발견되었다.^[6] 복잡한 역사로 인해 GHJW 정리,^[7] HJW 정리, 순화 정리 등 다양한 이름으로도 알려져 있다.

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$이 유한차원 복소 힐베르트 공간이라 하자. 다음 형식으로 분해되는$${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \!\langle \phi _{i}|}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$에서 정의된 일반적인(섞인 상태일 수 있는) 양자 상태 ${\displaystyle \rho }$를 고려한다. 여기서 ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}}$는 (반드시 상호 직교할 필요는 없는) 상태들과 계수들은 ${\textstyle \sum _{i}p_{i}=1}$이고 ${\displaystyle p_{i}\geq 0}$이다. 임의의 양자 상태는 적당한 ${\displaystyle \{|\phi _{i}\rangle \}_{i}}$과 ${\displaystyle \{p_{i}\}_{i}}$에 대해 이러한 방식으로 작성될 수 있다.^[8] 임의의 그러한 ${\displaystyle \rho }$는 순화될 수 있다. 즉, 더 큰 힐베르트 공간에서 정의된 순수 상태의 부분 대각합으로 표현된다. 보다 정확하게는 (유한차원) 힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$과 ${\displaystyle \rho =\operatorname {Tr} _{A}(|\Psi _{SA}\rangle \!\langle \Psi _{SA}|)}$인 순수 상태 ${\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}\otimes {\mathcal {H}}_{A}}$을 찾는 것이 항상 가능하다. 더욱이, 이것을 만족시키는 상태 ${\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle }$들은 모두 그리고 오직 다음 형식의 것들뿐이다.$${\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|\phi _{i}\rangle \otimes |a_{i}\rangle }$$여기서 ${\displaystyle \{|a_{i}\rangle \}_{i}\subset {\mathcal {H}}_{A}}$는 직교 기저이다. 이 상태 ${\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle }$는 '${\displaystyle \rho }$의 순화'라고 부른다. 보조 공간과 기저를 임의로 선택할 수 있기 때문에 섞인 상태의 순화는 유일하지 않다. 사실, 주어진 섞인 상태에 대해 무한히 많은 순화가 있다.^[9] 한 쌍의 순화 ${\displaystyle |\Psi \rangle ,|\Psi '\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}\otimes {\mathcal {H}}_{A}}$가 주어지면 그들 모두는 위에 주어진 형태의 분해를 인정하기 때문이다. 항상 다음과 같은 유니터리 연산자 ${\displaystyle U:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A}}$가 있다. $${\displaystyle |\Psi '\rangle =(I\otimes U)|\Psi \rangle }$$

순수 상태의 앙상블로서 두 가지 다른 구현 ${\textstyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$, ${\textstyle \rho =\sum _{j}q_{j}|\varphi _{j}\rangle \langle \varphi _{j}|}$과 함께섞인 양자 상태 ${\displaystyle \rho }$를 고려하자. 여기서 ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$들과 ${\displaystyle |\varphi _{j}\rangle }$들은 서로 직교한다고 가정되지 않는다. 다음과 같이 섞인 상태 ${\displaystyle \rho }$의 두 가지 해당 순화가 있을 것이다.

• 순화 1: ${\displaystyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|\phi _{i}\rangle \otimes |a_{i}\rangle }$ ;
• 순화 2: ${\displaystyle |\Psi _{SA}^{2}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle \otimes |b_{j}\rangle }$ .

집합 ${\displaystyle \{|a_{i}\rangle \}}$과 ${\displaystyle \{|b_{j}\rangle \}}$는 각 보조 공간의 정규 직교 기저이다. 이 두 가지 순화는 보조 공간에 작용하는 유니터리 변환, 즉 ${\displaystyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =(I\otimes U_{A})|\Psi _{SA}^{2}\rangle }$인 유니터리 행렬 ${\displaystyle U_{A}}$이 존재한다는 점에서만 다르다.^[10] 그러므로, ${\textstyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle \otimes U_{A}|b_{j}\rangle }$이다. 이는 순화 시스템에서 서로 다른 측정을 수행함으로써 섞인 상태의 다양한 앙상블을 실현할 수 있음을 의미한다.