4차원 회전군

리 군론에서 4차원 회전군(四次元回轉群, 영어: four-dimensional rotation group)은 4차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(4) 또는 이와 관련된 군들을 말한다.

4차원 특수 직교군 ${\displaystyle \operatorname {SO} (4;\mathbb {R} )}$ 및 이를 2겹 몫군으로 갖는 스핀 군 ${\displaystyle \operatorname {Spin} (4)}$이 있다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수를 준

${\displaystyle \operatorname {SO} (1,3)}$ (4차원 로런츠 군)

${\displaystyle \operatorname {SO} (2,2)}$

및 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다.

이 군에 대응하는 딘킨 도표는

${\displaystyle \bullet \qquad \bullet }$

이다. 딘킨 도표가 연결 그래프가 아닌 것은 이 군이 반단순 리 군이지만 단순 리 군이 아니기 때문이다.

이들은 다음과 같이 대응된다.

킬링 형식의 부호수	실수 기반 기호	복소수 · 사원수 기반 기호	군의 중심	기본군	비고
(0,4)	Spin(4)	${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)=\operatorname {USp} (2)\times \operatorname {USp} (2)=\operatorname {SL} (1;\mathbb {H} )\times \operatorname {SL} (1;\mathbb {H} )}$	${\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)}$	0	단일 연결 콤팩트 형태
	SO(4)	${\displaystyle (\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2))/\{(\pm 1,\pm 1)\}}$	${\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}$	${\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}$
	PSO(4)	${\displaystyle \operatorname {PSU} (2)\times \operatorname {PSU} (2)}$	0	0	무중심 콤팩트 형태
(4,2)	Spin(2,2)	${\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)}$	0	단일 연결 분할 형태
	SO⁺(2,2)	${\displaystyle (\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} ))/\{(+1,+1),(-1,-1)\}}$	${\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}$	${\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}$
	PSO⁺(2,2)	${\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )}$	0	${\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)}$ 무중심 분할 형태
(3,3)	Spin(1,3)	${\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )}$	${\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}$	0	단일 연결 로런츠 군
	SO⁺(1,3)	${\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )}$	0	${\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}$	무중심 로런츠 군
(2,4)	SO*(4)	—	${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Spin(4)의 최소 스피너는 복소수 2차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)}$의 왼쪽·오른쪽 정의(定義) 표현

${\displaystyle \mathbf {2} \otimes \mathbf {1} }$

${\displaystyle \mathbf {1} \otimes \mathbf {2} }$

에 해당한다.

마찬가지로, ${\displaystyle \operatorname {SO} (4)}$의 4차원 실수 정의(定義) 표현은 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)}$의 쌍벡터 표현

${\displaystyle \mathbf {2} \otimes \mathbf {2} }$

에 해당한다.

부호수 (4,0)에서, 2차 미분 형식의 호지 쌍대는 대합을 이루며, 따라서 2차원 반대칭 텐서(2차 미분 형식)에 대하여 호지 쌍대에 대한 자기 (반)쌍대 조건을 가할 수 있다. 이들은 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)}$의 왼쪽·오른쪽 딸림표현에 대응한다.

차원	SO(4) 묘사	SU(2)² 묘사 (스핀)
2 (복소수)	오른쪽 스피너	(0,½)
2 (복소수)	왼쪽 스피너	(½,0)
4 (실수)	벡터	(½,½)
3 (실수)	자기 쌍대 반대칭 2-텐서	(0,1)
3 (실수)	자기 반쌍대 반대칭 2-텐서	(1,0)
6 (복소수)	오른쪽 라리타-슈윙거 장	(½,1)
6 (복소수)	왼쪽 라리타-슈윙거 장	(1,½)
9 (실수)	무대각합 대칭 2-텐서	(1,1)

4차원 유클리드 공간을 사원수의 공간

${\displaystyle \mathbb {H} }$

으로 생각하자. 그 위에는 양의 정부호 쌍선형 형식

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (xy^{*})}$

가 주어져 있다. 여기서 우변의 ${\displaystyle y^{*}}$는 사원수의 켤레이다.

사원수 공간 위에는 사원수 대수가 양쪽에서 다음과 같이 작용한다.

${\displaystyle v\mapsto avb^{*}\qquad (a,b\in \mathbb {H} )}$

즉, 이는 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 위의, 가역 사원수의 리 군 ${\displaystyle \operatorname {Unit} (\mathbb {H} )=\mathbb {H} \setminus \{0\}}$의 2차 직접곱

${\displaystyle \operatorname {Unit} (\mathbb {H} )\times \operatorname {Unit} (\mathbb {H} )}$

의 표현을 정의한다. 이는 일반적으로 쌍선형 형식 ${\displaystyle \langle -,-\rangle }$을 보존하지 않지만, 노름 1의 순허수 사원수로 구성된 부분군

${\displaystyle \operatorname {SU} (2;\mathbb {C} )\times \operatorname {SU} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {SL} (1;\mathbb {H} )\times \operatorname {SL} (1;\mathbb {H} )\leq \operatorname {Unit} (\mathbb {H} )\times \operatorname {Unit} (\mathbb {H} )}$

은 이 쌍선형 형식을 보존한다. 즉, 이는 군 준동형

${\displaystyle \operatorname {SU} (2;\mathbb {C} )\times \operatorname {SU} (2;\mathbb {C} )\to \operatorname {SO} (4;\mathbb {R} )}$

를 정의하며, 그 핵은 다음과 같은 2차 순환군이다.

${\displaystyle \{(+1,+1),(-1,-1)\}\subsetneq \mathbb {H} \times \mathbb {H} }$

Spin(2,2)은 (1,1)차원 민코프스키 공간의 (대역적) 등각군이다. (국소적 등각군은 비트 대수로 주어진다.) ${\displaystyle \operatorname {Spin} (2,2)}$의 최소 스피너는 실수 2차원의 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는 ${\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}$의 왼쪽·오른쪽 정의(定義) 표현

${\displaystyle \mathbf {2} \otimes \mathbf {1} }$

${\displaystyle \mathbf {1} \otimes \mathbf {2} }$

에 해당한다.

부호수 (2,2)에서도, 2차 미분 형식의 호지 쌍대가 대합을 이루어, 자기 (반)쌍대 조건을 정의할 수 있다. 이들은 마찬가지로 ${\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )^{2}}$의 왼쪽·오른쪽 딸림표현에 대응한다.

차원	SO(2,2) 묘사	SL(2)² 묘사 (스핀)
2 (실수)	오른쪽 마요라나-바일 스피너	(0,½)
2 (실수)	왼쪽 마요라나-바일 스피너	(½,0)
4 (실수)	벡터	(½,½)
3 (실수)	자기 쌍대 반대칭 2-텐서	(0,1)
3 (실수)	자기 반쌍대 반대칭 2-텐서	(1,0)
6 (실수)	오른쪽 라리타-슈윙거 장	(½,1)
6 (실수)	왼쪽 라리타-슈윙거 장	(1,½)
9 (실수)	무대각합 대칭 2-텐서	(1,1)

이 군의 중심은 크기 4의 아벨 군

${\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} ))=\operatorname {Z} (\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} ))\times \operatorname {Z} (\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} ))\cong \operatorname {Cyc} (2)\times \operatorname {Cyc} (2)}$

이다. 이는 ${\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )^{2}}$에서

${\displaystyle \{(\sigma 1_{2\times 2},\sigma '1_{2\times 2})\colon \sigma ,\sigma '\in \{\pm 1\}\}}$

에 해당하며, ${\displaystyle \operatorname {SO} (2,2)}$에서 이 중심 부분군은 몫군

${\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {SO} (2,2))=\{\pm 1_{4\times 4}\}}$

에 해당한다. 중심에 대한 몫군은

${\displaystyle \operatorname {PSO} (2,2)\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )}$

이다.

구체적으로, 실수 2×2 행렬의 공간 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (2,2;\mathbb {R} )}$ 위에, 행렬식

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad-bc}$

은 실수 이차 형식을 이루며, 이에 대응하는 실수 쌍선형 형식

${\displaystyle \left\langle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}}\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left(ad'-bc'+da'-cb'\right)}$

을 계산할 수 있다. 이는 부호수 (2,2)를 가지며, 그 정규 직교 기저는 다음과 같다.

기저 벡터	${\displaystyle 1_{2\times 2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \mathrm {i} \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$
노름	+1	−1	+1	−1

${\displaystyle \operatorname {Mat} (2,2;\mathbb {R} )}$ 위에는 ${\displaystyle \operatorname {GL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {GL} (2;\mathbb {R} )}$가 다음과 같이 작용한다.

${\displaystyle (g,h)\cdot v=gvh^{-1}}$

이는 일반적으로 쌍선형 형식 ${\displaystyle \langle ,\rangle }$을 보존하지 않으나, 그 ${\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}$ 부분군은 이를 보존한다. 즉, 이는 군 준동형

${\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\to \operatorname {SO} (2,2)}$

을 정의한다. 이는 전사 함수이며, 그 핵은 2차 순환군

${\displaystyle \left\{\left(+1_{2\times 2},+1_{2\times 2}\right),\left(-1_{2\times 2},-1_{2\times 2}\right)\right\}}$

이다.

${\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)}$은 2차원 유클리드 공간의 (대역적) 등각군이다. 즉, 이는 사실 리만 구의 자기 동형군(뫼비우스 변환들의 군)

${\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)\cong \operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {Aut} (\mathbb {CP} ^{1})}$

이다.

${\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)}$의 최소 스피너는 복소수 2차원의 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 ${\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )}$의 정의 표현 ${\displaystyle \mathbb {2} }$ 및 그 복소수 켤레 ${\displaystyle {\bar {\mathbf {2} }}}$에 대응한다. ${\displaystyle \operatorname {SO} (1,3)}$의 4차원 실수 정의 표현 ${\displaystyle \mathbf {4} }$는 ${\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )}$의 표현

${\displaystyle \mathbf {2} \otimes {\bar {\mathbf {2} }}}$

에 대응한다.

이 부호수에서, 호지 쌍대는 2차 미분 형식의 대합이 되지 못한다. 즉, 2차 미분 형식 ${\displaystyle F}$에 대하여

${\displaystyle **F=-F}$

이다. 이에 따라 2차 미분 형식의 자기 (반)쌍대 조건을 가할 수 없다. 이는 ${\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)}$이 두 군의 직접곱으로 분해되지 못하여, 그 딸림표현이 기약 표현이기 때문이다.

구체적으로, 다음과 같은 꼴의 2×2 행렬들의 4차원 실수 벡터 공간을 생각하자.

${\displaystyle V=\left\{{\begin{pmatrix}z&\mathrm {i} x\\\mathrm {i} y&{\bar {z}}\end{pmatrix}}\colon z\in \mathbb {C} ,\;x,y\in \mathbb {R} \right\}}$

${\displaystyle V}$ 위에는 다음과 같은 실수 쌍선형 형식이 존재한다.

${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} (\operatorname {tr} (u{\bar {v}}))}$

이 쌍선형 형식의 부호수는 (3,1)이며, 이에 대한 정규 직교 기저는 다음과 같다.

기저 벡터	${\displaystyle 1_{2\times 2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \mathrm {i} \sigma _{3}={\begin{pmatrix}\mathrm {i} &0\\0&-\mathrm {i} \end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \mathrm {i} \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}}$
노름	+1	+1	+1	−1

즉, ${\displaystyle V}$를 민코프스키 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$으로 여길 수 있다.

이 위에는 다음과 같은 꼴의 ${\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )}$의 작용이 존재한다.

${\displaystyle v\mapsto Gv{\bar {G}}^{-1}\qquad (G\in \operatorname {SL} (2;\mathbb {C} ),\;v\in V)}$

이 작용은 위의 쌍선형 형식을 보존하며, 따라서 군 준동형

${\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )\to \operatorname {SO} (1,3)}$

을 정의한다. 그 핵은 물론

${\displaystyle \left\{\pm 1_{2\times 2}\right\}=\operatorname {Z} (\operatorname {SL} (2;\mathbb {C} ))}$

이다.

SO(4)는 SO*(4)라는 또다른 실수 형식을 갖는다. 구체적으로, 다음과 같은 군 준동형들을 생각하자.

${\displaystyle \operatorname {SO} (4;\mathbb {C} )\hookrightarrow \operatorname {SL} (4;\mathbb {C} )\,{\overset {\phi }{\twoheadrightarrow }}\,\operatorname {SO} (6;\mathbb {C} )}$

여기서 첫째 화살표는 자명한 부분군 관계이며, 둘째 화살표 ${\displaystyle \phi }$는 2겹 몫군 관계이다. 여기에 다음과 같은 실수 조건을 가할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {SO} (4;\mathbb {R} )\hookrightarrow \operatorname {SU} (4)\cong \operatorname {Spin} (6)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (6;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {SO} (2,2)\hookrightarrow \operatorname {SU} (2,2)\cong \operatorname {Spin} (4,2)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (4,2)}$

${\displaystyle \operatorname {SO} (3,1)\hookrightarrow \operatorname {SU} (3,1)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} ^{*}(6)}$

${\displaystyle \operatorname {SO} (4;\mathbb {R} )\hookrightarrow \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Spin} (3,3)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (3,3)}$

${\displaystyle \operatorname {SO} ^{*}(4)\hookrightarrow \operatorname {SU} ^{*}(4)\cong \operatorname {Spin} (5,1)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (5,1)}$

즉, SO*(4)는 이에 따라 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {SO} ^{*}(4)=\operatorname {SU} ^{*}(4)\cap \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )=\phi ^{-1}(\operatorname {SO} (5,1))\cap \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )}$

다시 말해, 이는 (5,1)차원 민코프스키 공간의 4차원 (왼쪽 또는 오른쪽) 바일 스피너의 실수 선형 변환 가운데, (5,1)차원 로런츠 변환에 속하는 것들이다.

• 라플라스-룽게-렌츠 벡터
• 로런츠 군
• 직교군
• 직교행렬
• 푸앵카레 군
• 사원수와 회전

• Naimark, M. A.; Farahat, H. K. (1964). 《Linear Representations of the Lorentz Group》. International Series of Monographs on Pure and Applied Mathematics (영어) 63. doi:10.1016/B978-0-08-010155-2.50001-1. ISBN 978-0-08-010155-2. 

• Garrett, Paul (2015년 5월 7일). “Sporadic isogenies to orthogonal groups” (PDF) (영어).