함수해석학에서 C* 대수(시스타 대수, 영어: C*-algebra)는 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조를 서로 호환되게 갖춘 수학 구조이다.
정의
C* 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다.
이 정의들은 모두 서로 동치이다.
추상적 정의
복소수 벡터 공간
위에 다음과 같은 두 구조가 주어졌다고 하자.
는 (복소수 켤레를 부여한) 복소수체 위의 (항등원을 갖는) 대합 대수이다. (즉, 임의의
및
에 대하여
이다.)
는 복소수 바나흐 대수이다.
그렇다면,
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 만약
가 이를 만족시킨다면 C* 대수라고 한다.
- (C* 항등식 영어: C* identity)
![{\displaystyle \Vert x^{*}x\Vert =\Vert x\Vert \Vert x^{*}\Vert }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bb16e3d1b03d146314450ddc79b51e7d9e9b8db)
- (B* 항등식 영어: B* identity)
![{\displaystyle \Vert x\Vert =\Vert x^{*}\Vert }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/833fe0c0c84100247abf24e7a5fb00ec599bf017)
(C* 항등식이 B* 항등식을 함의하는 것은 자명하지만, 반대 방향의 함의를 증명하는 것은 자명하지 않다.)
일부 문헌에서는 C* 대수의 정의에서 항등원의 존재를 생략하기도 한다.
대수적 정의
(복소수 켤레를 부여한) 복소수체 위의 (항등원을 갖는) 대합 대수
가 다음 조건을 만족시킨다면, C* 대수라고 한다.
는
위의 노름을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다. - 임의의
에 대하여, 스펙트럼
는 유계 집합이다. - 임의의
에 대하여,
가 가역원이 아니게 만드는 복소수
가 존재한다. - (삼각 부등식) 임의의
에 대하여,
이다.
는 완비 노름을 이룬다.
이 대수적 정의는 위의 정의와 동치이다. 구체적으로, C* 항등식으로부터 노름이 항상
임을 보일 수 있으며, 반대로 임의의 복소수 바나흐 대수에서
이므로 이는 B* 항등식을 함의한다.
구체적 정의
복소수 대합 대수
의 *-표현(영어: *-representation)은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 복소수 힐베르트 공간
![{\displaystyle {\mathcal {H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ef4c7b923a5125ac91aa491838a95ee15b804f)
- 유계 작용소들의 복소수 바나흐 대수
로 가는 단사 복소수 대합 대수 준동형
. 즉,
는 단사 함수이며, 복소수 선형 변환이며, (항등원을 보존하는) 환 준동형이며, 대합을 보존한다 (즉,
. 여기서 우변의
는 유계 작용소의 에르미트 수반이다.)
만약 복소수 대합 대수가 그 상이 (작용소 노름으로 정의되는 거리 위상에 대하여) 닫힌집합인 *-표현을 갖는다면, 이를 C* 대수라고 한다. (마지막 조건을 노름 위상 대신 강한 작용소 위상 또는 약한 작용소 위상에 대한 닫힌집합인 것으로 강화시키면, 대신 폰 노이만 대수의 개념을 얻는다.)
겔판트-나이마르크 정리(Гельфанд-Наймарк定理, 영어: Gelfand–Naimark theorem)에 따르면, 임의의 (추상적 정의에 따른) C* 대수
의 경우, 어떤 복소수 힐베르트 공간
위의 작용
![{\displaystyle \iota \colon A\to \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f7a511f86a13e45ad6238b6968f4830028f00cd)
가 존재하며, 또한 이는 단사 함수이자 복소수 선형 변환이자 등거리 변환이며, 또한 수반 연산
에 대한 준동형이며, 그 상은 C* 대수의 구체적 정의에 부합한다.
C* 대수의 원소
가 C* 대수라고 하고,
라고 하자.
- 만약
가 존재하여
라면,
를 음이 아닌 원소(陰-元素, 영어: nonnegative element)라고 한다. 음이 아닌 원소들의 집합은 볼록 뿔(convex cone)을 이룬다. - 만약
라면,
를 자기 수반 원소라고 한다. 자기 수반 원소의 스펙트럼은 모두 실수이다.
이라면,
를 유니터리 원소라고 한다. 유니터리 원소의 스펙트럼의 원소들의 절댓값은 항상 1이다.
의 스펙트럼
는
가 가역원이 아니게 되는
들의 집합이다. 일반적으로,
이다.
의 스펙트럼의 절댓값들의 상한
를
의 스펙트럼 반지름이라고 한다. 스펙트럼 반지름은 다음과 같이 정의할 수도 있다. ![{\displaystyle \nu (x)=\lim _{n\to \infty }\Vert x^{n}\Vert ^{1/n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73a91009ff465d4ace4404b53d767b20735d3f5c)
연산
직합
유한 또는 무한 개의 C* 대수
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 복소수 벡터 공간
![{\displaystyle {\widehat {\bigoplus }}_{i\in I}A_{i}\subseteq \prod _{i\in I}A_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dd3bd53faa544ded9a6b3cf286512c52e39107b)
![{\displaystyle a\in {\widehat {\bigoplus }}_{i\in I}A_{i}\iff \sup _{i\in I}\|a_{i}\|_{A_{i}}<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96dc3bcbfa65401bbfeb9a58c5ced912e1135629)
위에 균등 노름
![{\displaystyle \|a\|_{{\widehat {\bigoplus }}_{i}A_{i}}=\sup _{i\in I}\|a_{i}\|_{A_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e6a1a8c5fd3b180298d6f15025bfe92bfadc0e)
및 성분별 곱셈
![{\displaystyle (ab)_{i}=a_{i}b_{i}\qquad (i\in I)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31c9495a5d180304773aef4743a900dfba1d87a4)
을 부여하면, 이는 C* 대수를 이룬다. 이 경우 항등원은
이다.
물론, 만약
가 유한 집합이라면, 이는 단순히 직합
과 같다.
몫대수
다음이 주어졌다고 하자.
- C* 대수
![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
의 양쪽 아이디얼
. 또한,
가 닫힌집합이라고 하자.
그렇다면, 그 몫환
역시 C* 대수를 이룬다.
행렬 대수
C* 대수
및 자연수
에 대하여, 행렬 대수
는
성분의
정사각 행렬들로 구성되며, 이 역시 C* 대수를 이룬다. 만약 어떤 복소수 힐베르트 공간
에 대하여
라면,
으로 여길 수 있다.
만약
일 경우, 이는 자명환이다.
성질
C* 대수 사이의 사상
다음이 주어졌다고 하자.
- (항등원을 갖는) 두 C* 대수
, ![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
- (항등원을 보존하는) 복소수 대합 대수 준동형
. 즉,
는 복소수 선형 변환이자 환 준동형이며, 대합 연산을 보존한다 (
).
그렇다면,
는 작용소 노름이 1 이하인 유계 작용소이다.
또한, 만약
가 추가로 단사 함수라면, 이는 등거리 변환이다. 즉,
이다.
이에 따라, C* 대수와 복소수 대합 대수 준동형들은 구체적 범주
를 이룬다.
스펙트럼
C* 대수의 원소의 스펙트럼은 항상 공집합이 아니다. 또한, 임의의 C* 대수
의 원소
에 대하여
![{\displaystyle \operatorname {sp} (a^{*})=\{{\bar {\lambda }}\colon \lambda \in \operatorname {sp} (a)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d55c3bb8af91458bb930b361f85458b12b93856a)
이다.
C* 대수의 자기 수반 원소의 스펙트럼은 실수의 부분 집합이다. C* 대수의 유니터리 원소의 스펙트럼은
의 부분 집합이다.
분류
모든 C* 대수는 겔판트-나이마르크 정리에 의하여 어떤 복소수 힐베르트 공간 속의 유계 작용소 C* 대수의 부분 대수로 나타내어진다. 특히, 이 C* 대수를 포함하는 최소의 폰 노이만 대수를 정의할 수 있으며, 원래 C* 대수는 이 폰 노이만 대수의 강한 연산자 위상에서의 조밀 집합을 이룬다. 폰 노이만 대수의 경우 자세한 구조 이론이 알려져 있다.
예
자명한 C* 대수
한원소 집합
위의 유일한 환 구조인 자명환은 C* 대수를 이룬다. 이는 유일한 0차원 C* 대수이다.
유한 차원 C* 대수
임의의 유한 차원 C* 대수
는 다음과 같은 꼴이다.
![{\displaystyle A=\bigoplus _{i\in I}\operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8354c7365d2ad569b01b989347bd6516673eee67)
여기서
는 작용소 노름이 부여된,
복소수 정사각 행렬들의 C* 대수이다.
가환 C* 대수
(항등원을 갖는) 가환 C* 대수
의 스펙트럼(영어: spectrum)은 다음과 같은 집합이다. (이 개념은 C* 대수의 원소의 스펙트럼의 개념과 관계가 없다.)
![{\displaystyle {\hat {A}}=\hom(A,\mathbb {C} )\subseteq A^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/629aefbbb6b135ea5567541c7973f30e1b51f17b)
즉,
*-준동형들의 집합이다. *-준동형의 작용소 노름은 1 이하이므로,
![{\displaystyle {\hat {A}}\subseteq \operatorname {cl} \left(\operatorname {ball} _{A^{*}}(0,1)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/353926d76ce3fdd099c10e526a8dbbaafe2f814a)
이다. (여기서 우변은 연속 쌍대 공간
의 닫힌 단위 공이다.) 우변에 약한-* 위상을 주고, 좌변을 그 부분 공간으로 간주하면, 바나흐-앨러오글루 정리에 의하여
는 콤팩트 하우스도르프 공간을 이룬다. 이 연산은 함자
![{\displaystyle {\hat {\color {White}{A}}}\colon \operatorname {comC*Alg} \to \operatorname {CompHausTop} ^{\operatorname {op} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/911aa64154f3a14795e5554a35cbad930587467c)
를 정의한다. 여기서
반대로, 다음과 같은 함자
![{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(X,-)\colon \operatorname {CompHausTop} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {comC^{*}Alg} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90208c86fe9d8f02aa884c1ef252b0bd1ced3e4a)
를 정의할 수 있다.
- 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간
에 대하여,
는 복소수 값 연속 함수들의 공간이다. 이 위에 ∞-르베그 노름
및 점별 덧셈 · 곱셈 · 복소수 켤레를 부여하면, 이는 가환 C* 대수를 이룬다. - 임의의 두 콤팩트 하우스도르프 공간
,
사이의 연속 함수
의
에 대한 상은 다음과 같다. ![{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(f,\mathbb {C} )\colon {\mathcal {C}}^{0}(Y,\mathbb {C} )\to {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c1fedfa58fcdf4698bc3018d53b6d25461fcb8)
![{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(f,\mathbb {C} )\colon \phi \mapsto \phi \circ f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ff89fdb4863d0c7a097fcd0428614505749b408)
겔판트 표현 정리(Гельфанд表現定理, 영어: Gelfand representation theorem)에 따르면,
와
함자는 사실 두 범주
와
사이의 범주의 동치를 정의한다.
특히, 모든 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수
에 대하여
![{\displaystyle A\cong {\mathcal {C}}^{0}({\hat {A}},\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd48901e4d77dd572838ac8ceb8442d2d5428c69)
이며, 모든 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수
는 위와 같은 꼴로 (유일하게) 표현된다.
유계 작용소 대수
임의의 복소수 힐베르트 공간
위의 모든 유계 작용소들의 집합
은 함수의 합성을 곱셈으로 삼을 때 C* 대수를 이룬다. (이는 특히 I종 인자 대수이다.) 특히, 만약
가 유한 차원이라면, 이는
복소수 행렬들로 구성된다.
콤팩트 작용소 대수
임의의 복소수 힐베르트 공간
위의 모든 콤팩트 작용소들의 집합
은
의 닫힌 양쪽 아이디얼을 이루며, 이에 대한 몫환
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {B} (V,V)}{\operatorname {K} (V,V)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8af57a51645369972287a5dc690144433b11fba3)
은 C* 대수를 이룬다. 이를 콜킨 대수(영어: Calkin algebra)라고 한다.
응용
C* 대수의 이론은 양자장론을 수학적으로 엄밀하게 정의하려는 시도에 사용된다.
겔판트 표현에 의하여, 가환 C* 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간에 대응되며, 만약 항등원을 가져야 하는 조건을 생략한다면, 이는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에 대응된다. 이에 대하여, 일반적 (비가환일 수 있는) C* 대수 역시 일종의 ‘공간’으로 여길 수 있다. 이러한 수학적 분야를 비가환 기하학이라고 한다.
같이 보기
참고 문헌
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- Sakai, Shôichirô (1971). 《C*-algebras and W*-algebras》. Classics in Mathematics (영어) 60. doi:10.1007/978-3-642-61993-9. ISBN 978-3-540-63633-5. ISSN 0071-1136. MR 1490835.
- Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1997). 《Fundamentals of the theory of operator algebras. Volume I: elementary theory》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 15. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0819-1.
- Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1997). 《Fundamentals of the theory of operator algebras. Volume II: advanced theory》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 16. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0820-7.
- Weaver, Nik (2007년 3월). “Set theory and C*-algebras”. 《Bulletin of Symbolic Logic》 (영어) 13 (1): 1–20. arXiv:math/0604198. Bibcode:2006math......4198W. ISSN 1079-8986. JSTOR 4145599.
외부 링크
- “C*-algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Toeplitz C*-algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Nuclear-C*-algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Spectrum of a C*-algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Character of a C*-algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Trace on a C*-algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “AF-algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “C^*-algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Moslehian, Mohammad Sal. “C^*-algebra representation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Pre-C^*-algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Local C^*-algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “C-star-algebra”. 《nLab》 (영어).
- “Separable C*-algebra”. 《nLab》 (영어).
- “Nuclear C*-algebra”. 《nLab》 (영어).
- “Commutative C*-algebra”. 《nLab》 (영어).
- “Crossed product C*-algebra”. 《nLab》 (영어).
- “C*-algebras”. 《The Vortex》 (영어). 2011년 7월 5일.
- “Tensor products of C*-algebras”. 《The Vortex》 (영어). 2011년 7월 9일.
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