In de getaltheorie is de aliquotsom van een natuurlijk getal de som van de echte delers van dat getal.[1]
In formule:
![{\displaystyle s(n)=\sum \nolimits _{d|n,\ d\neq n}d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7ca7be2d531fabfdbce612753825476917c0b7)
Hierin is
de aliquotsom van
en betekent
dat
“deelbaar is op” (“een deler is van”)
.
Nb. Van elk natuurlijk getal
is
een (echte) deler.
Voorbeelden
- De echte delers van
zijn
. Dan is:
![{\displaystyle s(18)=1+2+3+6+9=21}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90273539664b0d8d2d353ea52e1d1e6eac7710b8)
- De echte delers van
zijn
. Dus:
![{\displaystyle s(6)=1+2+3=6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71796db481805ab4dcd41308681077ee6a97b67b)
- Het getal
heeft geen echte delers. Daarom is, per definitie:
.
- Opmerking
Indien de functie
wordt gedefinieerd met behulp van de functie
, waarbij
de som is van alle delers van
, dus als:
![{\displaystyle s(n)=\sigma (n)-n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c220f7e8b6221380466946aa0f68ac18afca033d)
dan is (inderdaad)
.
Waarden van de aliquotsom
Voor
zijn de opvolgende waarden:[2]
![{\displaystyle 0,1,1,3,1,6,1,7,4,8,1,16,1,10,9,15,1,21,1,22,11,14,1,36,6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4570fc28677a2970c6136c7edbe240e955ac7a9c)
De functie s bij bijzondere getallen
- Als
een priemgetal is, dan is
. - Als
een perfect getal is, dan is
. - Als
een overvloedig getal is, dan is
. - Als
een gebrekkig getal is, dan is
. - Is
een macht van
, dus
, dan is:
![{\displaystyle s(n)=1+2+2^{2}+\ldots +2^{k-1}=2^{k}-1=n-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab817d49d3d5a316ca05753b9aa0ac0a31a47c4)
- En deze eigenschap geldt dus voor elk bijna perfect getal.
Eigenschappen van de functie
Als
natuurlijke getallen zijn die relatief priem zijn, dan is:
![{\displaystyle \sigma (mn)=\sigma (m)\cdot \sigma (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed9bda5094a478ce43a560944867a1eab0b19c62)
- Bewijs
Elke deler
van het getal
bestaat uit priemfactoren die in
zitten en priemfactoren die in
zitten. Omdat
geen gemeenschappelijke delers hebben, is zo’n
te schrijven als
, waarbij
.
En omgekeerd, elke keuze van een deler
van
en deler
van
geeft weer een deler van
, namelijk
.
Het aantal delers van
is daarmee gelijk aan het aantal delers van
maal het aantal delers van
. Dan is:
![{\displaystyle \sigma (mn)=\sum \nolimits _{d\ |\ mn,\ d\neq mn}d=\sum \nolimits _{d_{m}|m,\ d_{n}|n}d_{m}d_{n}=\sum \nolimits _{d_{m}|m}d_{m}\,\cdot \,\sum \nolimits _{d_{n}|n}d_{n}=\sigma (m)\,\cdot \,\sigma (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4175fa9c365f411d424fdd9c307897999525c7)
Als
de priemontbinding is van het natuurlijke getal
, waarin
verschillende priemgetallen zijn (elk met
als exponent), dan is:
![{\displaystyle \sigma (n)=\prod \nolimits _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{a_{i}+1}-1}{p_{i}-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ba6c61701bbee8b4c78b82ffe96be399bbab358)
- Gevolg
Is de priemontbinding van een getal
bekend, dan kan
, en daarmee dus ook
, worden berekend. Evenwel, het ontbinden van erg grote getallen in priemfactoren is niet zo eenvoudig.
- Voorbeeld
Voor
is:
.
Zodat:
![{\displaystyle \sigma (24)={\frac {2^{4}-1}{2-1}}\cdot {\frac {3^{2}-1}{3-1}}=15\cdot 4=60}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace780a0cfc9293d8f0487ffaab06d2bed24a6a3)
Dus is:
.
Zie ook
Aliquotrij
De functie
, toegepast op
, kan ook geïtereerd worden (herhaald worden toegepast). Hierdoor ontstaat de rij:
![{\displaystyle n,s(n),s(s(n)),s(s(s(n))),...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fddd0d25a73b18ffef5e46ae573146b51bf8a57e)
Deze rij wordt de aliquotrij van het getal
genoemd.
Voorbeeld
Voor
is:
![{\displaystyle s(15)=1+3+5=9,\ s(9)=1+3=4,\ s(4)=1+2=3,\ s(3)=1,\ s(1)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/313ea0323dbbedc5e2ae8c8bd513098c94bacb3b)
De aliquotrij van
is dan:
.
Bronnen
- F. Beukers (1998): Getaltheorie. Utrecht: Epsilon Uitgaven; pp. 23-26, pp. 32-39.
- (fr) J.P. Delahaye (2002): Nombres aimables et suites aliquotes. In: Pour la science, no. 292; pp. 98-103.
- M. Looijen (2015): Over getallen gesproken. Zaltbommel: Van Haren Publishing (VHP), 2e druk (2016); pp. 112-113.
Noten