Duale bundel

In de wiskunde is de duale bundel een operatie op vectorbundels die het begrip van een duale vectorruimte uitbreidt.

De duale bundel van een vectorbundel ${\displaystyle \pi \colon E\to X}$ is de vectorbundel ${\displaystyle \pi ^{*}\colon E^{*}\to X}$ waarvan de vezels de duale ruimtes zijn van de vezels van ${\displaystyle E}$ .

Op equivalente wijze kan ${\displaystyle E^{*}}$ worden gedefinieerd als de Hom-bundel ${\displaystyle \mathrm {Hom} (E,\mathbb {R} \times X),}$ dat wil zeggen, als de vectorbundel van morfismen van ${\displaystyle E}$ naar de triviale lijnbundel ${\displaystyle \mathbb {R} \times X\to X.}$

Gegeven een lokale trivialisatie van ${\displaystyle E}$ met transitiefuncties ${\displaystyle t_{ij},}$ wordt een lokale trivialisatie van ${\displaystyle E^{*}}$ gegeven door dezelfde open overdekking van ${\displaystyle X}$ met transitiefuncties ${\displaystyle t_{ij}^{*}=(t_{ij}^{T})^{-1}}$ (de inverse van de transpositie). De duale bundel ${\displaystyle E^{*}}$ wordt vervolgens geconstrueerd met behulp van de vezelbundelconstructiestelling. Specifieke gevallen worden gegeven door de volgende:

• De duale bundel van een geassocieerde bundel is de bundel die hoort bij de duale representatie van de structuurgroep .
• De duale bundel van de raakbundel van een differentieerbare variëteit is de coraakbundel.

Als de basisruimte ${\displaystyle X}$ paracompact en Hausdorff is, dan is een reële vectorbundel ${\displaystyle E}$ van eindige rang isomorf met de duale vectorbundel ${\displaystyle E^{*}}$. Echter, net als voor vectorruimten is er geen natuurlijke keuze van een isomorfisme, tenzij ${\displaystyle E}$ voorzien is van een inwendig product .

De Hom-bundel ${\displaystyle \mathrm {Hom} (E_{1},E_{2})}$ van twee vectorbundels is canoniek isomorf met de tensorproductbundel ${\displaystyle E_{1}^{*}\otimes E_{2}.}$

Gegeven een morfisme ${\displaystyle f\colon E_{1}\to E_{2}}$ van vectorbundels over dezelfde ruimte bestaat er een morfisme ${\displaystyle f^{*}:E_{2}^{*}\to E_{1}^{*}}$ tussen hun duale bundels (in de omgekeerde volgorde), vezelgewijs gedefinieerd als de transpositie van elke lineaire afbeelding ${\displaystyle f_{x}\colon (E_{1})_{x}\to (E_{2})_{x}.}$ Zodoende definieert de dualebundelconstructie een contravariante functor van de categorie van vectorbundels en hun morfismen naar zichzelf.