Impulsoperator
Kwantummechanica | |
---|---|
Onzekerheidsrelatie | |
Algemene inleiding... | |
Achtergrond Klassieke mechanica Interferentie Hamiltonformalisme | |
Fundamentele begrippen Kwantumtoestand · Golffunctie · Postulaten Superpositie · Onzekerheidsprincipe Schrödingervergelijking · Tunneleffect Uitsluitingsprincipe Diracnotatie | |
Gevorderde onderwerpen | |
Experimenten | |
Wetenschappers Planck · Einstein · Bohr · Sommerfeld · Bose · Kramers · Heisenberg · Born · Jordan · Pauli · Dirac · de Broglie · Schrödinger · von Neumann · Wigner · Feynman · Bohm · Everett · Bell |
De impulsoperator in de kwantummechanica
waarin de nabla is, correspondeert met de impuls
in de klassieke mechanica. De impulsoperator wordt gebruikt in het hamiltonformalisme. De hamiltoniaan van een klassiek deeltje kan vertaald worden in de hamiltoniaan van een kwantumdeeltje door substitutie.
De hamiltoniaan van een deeltje met kinetische energie T = ½ . m . v² en potentiële energie U is klassiek
zodat de hamiltoniaan in de (niet-relativistische) kwantummechanica is
- .
Theorie
Klassiek volgt uit de hamiltoniaan de bewegingsvergelijking in één dimensie
waarin F de kracht op een deeltje is.
Kwantummechanisch bepaalt in de tijdonafhankelijke schrödingervergelijking de golffunctie van een deeltje met energie E
- .
De schrödingervergelijking is in de kwantummechanica wat de eerste wet van Newton is in de klassieke mechanica.
De impulsoperator is in overeenstemming met de de Broglie's vergelijking waarin het golfgetal is van een deeltje. De golffunctie heeft de vorm dus
- ;
is de eigenwaarde van de operator .
In drie dimensies is de theorie hetzelfde. en zijn dan vectoren en is de nabla operator.
Toepassingen
Laat vrije elektronen, U=0, met energie E op een potentiaal barrière V>E stuiten.
Voor x<0 is de schrödingervergelijking
een golfvergelijking met oplossing
- .
Omdat voor is het geen acceptabele golffunctie maar wel bruikbaar om reflectie en transmissie te berekenen. is geen kwantummechanische beschrijving van een elektron maar van een elektronbundel.
Voor x>0 is de schrödingervergelijking
met oplossing
- .
C=0 zodat voor . De twee oplossingen moeten in x=0 glad aan elkaar passen:
- .
Daaruit volgt:
- .
dus er is totale reflectie van de bundel. is een staande golf.
dus er is penetratie van de bundel. Elektronen hebben een exponentieel afnemende kans te komen in x>0 die klassiek ontoegankelijk is.
Een elektron waarop een kracht -sx werkt bij uitwijking x van het evenwichtspunt x=0 slingert met frequentie . De potentiële energie U=½sx² dus de hamiltoniaan in de kwantummechanica is.
- .
De tijdonafhankelijke schrödingervergelijking heeft alleen acceptabele oplossingen voor de golffunctie als de elektronenergie E waarden heeft
De bijbehorende golffuncties zijn:
De functies Hn zijn Hermite polynomen:
De eerste twee golffuncties zijn:
- ,
- .
Hieruit blijken twee dingen:
- De mogelijke E-waarden een discreet spectrum vormen. Klassiek kan het elektron alle waarden E=½sa² hebben (a is de slingeramplitude).
- In de grondtoestand het elektron niet in rust is, is niet 0. Klassiek is x=p=0 als de slinger in rust is, maar volgens Heisenberg bestaat die toestand niet. Er is een kans dat x van 0 verschilt.
Waterstofatoom
In het waterstofatoom is de hamiltoniaan van het elektron in het Coulombveld van de kern klassiek
en dus kwantummechanisch
- .
Voor de oplossing van de tijdonafhankelijke schrödingervergelijking.