Lorentz-Lorenz-vergelijking

De Lorentz–Lorenzvergelijking geeft het verband tussen de brekingsindex en de polariseerbaarheid van een stof, dus tussen de optische (licht-) en de elektrische eigenschappen van een stof. De formule komt overeen met de Clausius–Mossotti-relatie, maar daar wordt de permittiviteit (diëlektrische constante) van een stof gekoppeld aan de polariseerbaarheid. De Lorentz–Lorenzvergelijking is genoemd naar de Nederlandse natuurkundige Hendrik Lorentz, die hem in 1878 vond, en de Deense natuurkundige Ludvig Lorenz (1829 – 1891), die hem al in 1869 publiceerde. De vergelijking past in het programma van Lorentz om de Wetten van Maxwell over elektromagnetisme en licht verder uit te werken in onder meer de optica. De Lorentz–Lorenzvergelijking is onafhankelijk van de fasetoestand van de stof (vast, vloeibaar, gas) en werd gebruikt voor de structuurbepaling van moleculen in de organische chemie.^[1]

De algemene vorm van de Lorentz–Lorenzvergelijking is in cgs-eenheden:

${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}={\frac {4\pi }{3}}N\alpha _{\text{m}}}$

met ${\displaystyle n}$ de brekingsindex, ${\displaystyle N}$ het aantal moleculen per volume-eenheid en ${\displaystyle \alpha _{\text{m}}}$ de gemiddelde polariseerbaarheid. De formule geldt bij benadering zowel voor homogene vaste stoffen als voor vloeistoffen en gassen.

Voor veel gassen is het kwadraat van de brekingsindex ${\displaystyle n^{2}\approx 1}$ zodat

${\displaystyle n^{2}-1\approx 4\pi N\alpha _{\text{m}}}$

of, omdat ${\displaystyle n+1\approx 2}$,

${\displaystyle n-1\approx 2\pi N\alpha _{\text{m}}}$

Dit geldt voor gassen bij normale druk. De brekingsindex ${\displaystyle n}$ van het gas is dan als functie van de molaire refractiviteit ${\displaystyle A}$

${\displaystyle n\approx {\sqrt {1+{\frac {3Ap}{RT}}}}}$

met ${\displaystyle p}$ de gasdruk, ${\displaystyle R}$ de gasconstante, en ${\displaystyle T}$ de absolute temperatuur, die samen de deeltjesdichtheid ${\displaystyle N}$ bepalen.

De Clausius–Mossotti-relatie komt overeen met de Lorentz-Lorenz-formule, maar drukt de permittiviteit (diëlektrische constante, relatieve permittiviteit ${\displaystyle \varepsilon _{\text{r}}}$) van een stof uit in de atomaire polariseerbaarheid α van de atomen (of moleculen, of een mengsel) waaruit de stof bestaat. De wet is vernoemd naar de Italiaanse natuurkundige Ottaviano-Fabrizio Mossotti, naar Argentinië gevlucht vanwege zijn liberale ideeën, en de Duitse natuurkundige Rudolf Clausius (1822 – 1888):^[2][3]

${\displaystyle {\frac {\varepsilon _{\text{r}}-1}{\varepsilon _{\text{r}}+2}}={\frac {N\alpha }{3\varepsilon _{0}}}}$

met

• ${\displaystyle \varepsilon _{r}=\varepsilon /\varepsilon _{0}}$ de relatieve diëlektrische constante (permittiviteit) van de stof
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ de permittiviteit van vacuüm
• ${\displaystyle N}$ de deeltjesdichtheid (aantal deeltjes per kubieke meter), en
• ${\displaystyle \alpha }$ de elektrische susceptibiliteit in SI-eenheden (C·m²/V).

Als het om een mengsel gaat, moet in het rechter lid van de vergelijking de som van de bijdragen van alle bestanddelen komen, met bijvoorbeeld een index i (Lorrain and Corson - Electromagnetic Field and Waves, 1962, 2nd Edition, bladzijde 116):

${\displaystyle {\frac {\varepsilon _{\text{r}}-1}{\varepsilon _{\text{r}}+2}}=\sum _{i}{\frac {N_{i}\alpha _{i}}{3\varepsilon _{0}}}}$

In het cgs-stelsel wordt de Clausius–Mossotti-formule meestal herschreven om het volume bij de moleculaire polariseerbaarheid te benadrukken: ${\displaystyle \alpha '=\alpha /(4\pi \varepsilon _{0})}$ met volume-eenheden (m³).^[3] Men moet oppassen voor de verwarring van de afkorting "moleculaire polariseerbaarheid" voor zowel ${\displaystyle \alpha }$ als ${\displaystyle \alpha '}$ in de literatuur voor de verschillende stelsels van eenheden.

• Lakhtakia, A (1996). Selected papers on linear optical composite materials. SPIE Optical Engineering Press, Bellingham, Wash., USA. ISBN 978-0-8194-2152-4.
• Böttcher, C.J.F. (1973). Theory of Electric Polarization, 2nd. Elsevier. DOI:10.1016/c2009-0-15579-4. ISBN 978-0-444-41019-1.
• Clausius, R. (1879). Die Mechanische Behandlung der Electricität. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. DOI:10.1007/978-3-663-20232-5. ISBN 978-3-663-19891-8.
• Born, Max, Wolf, Emil (1999). Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light, 7th. Cambridge University Press, Cambridge New York, "section 2.3.3". ISBN 0-521-64222-1.
• Lorenz, Ludvig, Experimentale og theoretiske Undersogelser over Legemernes Brydningsforhold, Vidensk Slsk. Sckrifter 8,205 (1870) https://www.biodiversitylibrary.org/item/48423#page/5/mode/1up
• (de) Lorenz, L. (1880). Ueber die Refractionsconstante. Annalen der Physik und Chemie 247 (9): 70–103 (Wiley). ISSN: 0003-3804. DOI: 10.1002/andp.18802470905. Gearchiveerd van origineel op 23 januari 2023.
• (de) Lorentz, H. A. (1881). Ueber die Anwendung des Satzes vom Virial in der kinetischen Theorie der Gase. Annalen der Physik 248 (1): 127–136 (Wiley). ISSN: 0003-3804. DOI: 10.1002/andp.18812480110.
• O. F. Mossotti, Discussione analitica sull’influenza che l’azione di un mezzo dielettrico ha sulla distribuzione dell’elettricità alla superficie di più corpi elettrici disseminati in esso, Memorie di Mathematica e di Fisica della Società Italiana della Scienza Residente in Modena, vol. 24, p. 49-74 (1850).