Vierkante matrices kunnen met zichzelf worden vemenigvuldigd. Men spreekt net als bij getallen van machtsverheffen: er ontstaat een macht van een matrix. Zo is:
het kwadraat van ![{\displaystyle \mathbf {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0795cc96c75d81520a120482662b90f024c9a1a1)
en
, met
factoren
, de
-de macht van
.
Gesloten vorm
Als de matrix
diagonaliseerbaar is, kan er een gesloten vorm voor de
-de macht van
worden gevonden. Dan geldt:
,
waarin
een diagonaalmatrix is. De macht van een diagonaalmatrix is snel te bepalen, omdat:
.
Voorbeelden
Berekening
Bepaal de
-de macht van de matrix
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}2&0&0\\-2&3&0\\0&2&1\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0d0566476586e11d054bbe80945b18e2ddce28a)
Alle elementen boven de diagonaal zijn gelijk aan 0 en de diagonaalelementen zijn alle verschillend, zodat de diagonaalelementen ook de eigenwaarden zijn. Voor een diagonaalvorm van
kan men dus nemen:
![{\displaystyle \Lambda ={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0571e4f9014692b6db991635b4e9336b6a05b8cc)
De transformatie
wordt bepaald door de eigenvectoren van
. Dit zijn: (0,0,1), (1,2,4) en (0,1,1), zodat:
![{\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&2&1\\1&4&1\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d85314428a99b03bb42c85a108c5650c9f4889)
Nu volgt:
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{n}=\mathbf {T} \Lambda ^{n}\mathbf {T} ^{-1}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&2&1\\1&4&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1^{n}&0&0\\0&2^{n}&0\\0&0&3^{n}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&-1&1\\1&0&0\\-2&1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2^{n}&0&0\\-2(3^{n}-2^{n})&3^{n}&0\\-2(3^{n}-2^{n+1}+1)&3^{n}-1&1\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af82d372af29080fd1955ac2fb3a2a69e69a95b7)
Rij van Fibonacci
Voor het bepalen van het getal
in de rij van Fibonacci is de
-ste macht van de volgende matrix nodig:
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/194eb29d03e348b2dc6434ceee62e56e30f9b286)
De eigenwaarden van de diagonaalvorm
zijn de oplossingen
van de karakteristieke vergelijking:
,
met oplossingen:
.
De eigenvectoren bepalen de matrix:
![{\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&\lambda _{2}\\1&1\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acce3b977e5330ae62eafb6d58fab088ecc60ecb)
Dus:
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{n-1}=\mathbf {T} \Lambda ^{n-1}\mathbf {T} ^{-1}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&\lambda _{2}\\1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\\\end{bmatrix}}^{n-1}{\begin{bmatrix}{\frac {-1}{\sqrt {5}}}&{\frac {\lambda _{2}}{\sqrt {5}}}\\{\frac {1}{\sqrt {5}}}&{\frac {-\lambda _{1}}{\sqrt {5}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}^{n}&\lambda _{2}^{n}\\\lambda _{1}^{n-1}&\lambda _{2}^{n-1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {-1}{\sqrt {5}}}&{\frac {\lambda _{2}}{\sqrt {5}}}\\{\frac {1}{\sqrt {5}}}&{\frac {-\lambda _{1}}{\sqrt {5}}}\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d426ff6b47ab4ad0e97948655bbe9bdb413a57b)
Hiervan is het element linksboven nodig. Dit levert:
![{\displaystyle f_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}(\lambda _{2}^{n}-\lambda _{1}^{n})={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085bcd643eb876de77d48429d7ec0bf771dd1ccf)