Stelling van Routh

De stelling van Routh, genoemd naar Edward Routh, is een wiskundige stelling in de driehoeksmeetkunde.

Gegeven is een driehoek ABC met oppervlakte ${\displaystyle A_{ABC}}$. We verdelen de drie zijden van de driehoek in twee delen door de punten D, E en F te plaatsen op de zijden [BC], [AC] en [AB] of op het verlengde van de zijden. De verhoudingen van de twee segmenten van elke zijde noemen we r, s en t:

${\displaystyle {\overline {AF}}/{\overline {BF}}=r}$

${\displaystyle {\overline {BD}}/{\overline {CD}}=s}$

${\displaystyle {\overline {CE}}/{\overline {AE}}=t}$

(de verhoudingen krijgen een minteken wanneer de twee segmenten verschillende richting hebben)

Wanneer we nu de hoektransversalen [AD], [BE] en [CF] trekken vanuit de punten D, E en F naar de tegenoverliggende hoekpunten A, B en C, vormen die een ingesloten driehoek GHI (rood aangeduid in de figuur).

De stelling van Routh stelt dat de oppervlakte van deze driehoek gelijk is aan:

${\displaystyle A_{GHI}={\frac {(rst-1)^{2}}{(st+s+1)(rt+t+1)(rs+r+1)}}A_{ABC}.}$

De stelling van Ceva en de stelling van Menelaos zijn een bijzonder geval van deze stelling van Routh:

• wanneer de drie hoektransversalen een enkel snijpunt hebben is de oppervlakte van de omsloten driehoek gelijk aan nul; dat wil zeggen dat ${\displaystyle rst=1}$, zoals de stelling van Ceva zegt;
• wanneer ${\displaystyle rst=-1}$ liggen volgens de stelling van Menelaos de punten D, E en F op één lijn.

• (en) Eric W. Weisstein: Routh's Theorem. In MathWorld