Cauchy–Schwarz’ ulikhet er en av de viktigste ulikhetene i lineær algebra. Den har sitt navn etter den franske matematikeren Augustin Louis Cauchy (1789–1857) og den tyske matematikeren Hermann Amandus Schwarz (1843–1921). Trekantulikheten kan bevises ved å bruke Cauchy-Schwarz ulikhet.
Om ulikheten
For vektorer
og
i planet sier ulikheten at:
.
Generelt gjelder: For vektorer
og
i et reelt vektorrom med indreprodukt
, eksempelvis det Euklidske n-rommet
, er
.
Ofte blir ulikheten uttrykt ved sumoperatoren, som er ekvivalent med sistnevnte uttrykk.
Der elementene i følgende
og
er i den reelle tallmengden
Ulikheten ble først introdusert av Cauchy i Course d’analyse (1821), da i form av endelige summer, likt den måten ulikheten er uttrykt ved over. I 1859 viste en tidligere student av Cauchy, Bunyakovsky, ulikheten for uendelige summer, uttrykt ved integraler. Karl Schwarz gjenoppdaget Bunyakovskys arbeid i 1888, i hans arbeid med minimalflater, og uttrykte da ulikheten i form av dobbeltintegraler. Ulikheten tar også gjerne navnet Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz’ ulikhet av denne grunn.
Eksempler
Vinkler
Ulikheten forsikrer at vinkelen mellom to vektorer, begge ulik
, er veldefinert. Denne vinkelen
er spesifisert ved
og
.
Amplitude for svingninger
Svingninger beskrives ved en funksjon
, hvor
og
er parametere. Ved å se på
og
som vektorer i planet gir Cauchy-Schwarz’ ulikhet at
![{\displaystyle |f(x)|=|a\cos(x)+b\sin(x)|\leq {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62da92d55f7615d4dcd342275093932b2fdf48bd)
siden
.
Bevis
Dersom
eller
er lik
, så er ulikheten opplagt. Anta derfor at begge vektorene er ulik
.
La
være en skalar, og se på vektoren
. Vi har
.
Ved å multiplisere ut venstre side og betrakte den som et polynom i
, får vi
.
Et annengradspolynom
er større enn eller lik
for alle
dersom
og diskriminanten
er mindre enn eller lik
. I vårt tilfelle fås:
.
En rydder opp og ser at:
.
Cauchy-Schwartz’ ulikhet fremkommer nå ved å ta kvadratrot på begge sider:
.
Referanser
Eksterne lenker
- Video om Cauchy–Schwarz’ ulikhet
Oppslagsverk/autoritetsdata | Store Danske Encyklopædi · Encyclopædia Britannica · MathWorld |
---|