Indreprodukt

Et indreprodukt (eller skalarprodukt eller prikkprodukt) er en funksjon som avbilder to vektorer i et vektorrom inn på en skalar. Funksjonen er definert slik at den gir et mål for et forhold mellom de to vektorene og gir en generalisering av intuitive geometriske begrep som avstand og vinkel også i mer abstrakte vektorrom. Begrepet ortogonalitet får en naturlig generalisering ved hjelp av indreproduktet. Prikkoperatoren (⋅) brukes som regel for indreprodukt, i motsetning til kryssoperatoren (×) som pleier brukes for vektorprodukt.

Ved å la indreproduktet generalisere vinkelbegrepet kan en i matematikk elegant utlede mange grunnleggende resultater for tilsynelatende helt ulike matematiske objekter, basert på de grunnleggende egenskapene til «vinkelmålet». Indreproduktet spiller en viktig rolle i mange deler av matematikk, for eksempel i Fourieranalyse og i approksimasjonsteori.

Et vektorrom utstyrt med et indreprodukt kalles et indreproduktrom. Et komplett indreproduktrom kalles et Hilbertrom. Navnet pre-Hilbertrom brukes av og til for et indreproduktrom som ikke er komplett.

I en del litteratur finner en betegnelsen «prikkprodukt» avgrenset til å gjelde det Euklidske indreproduktet.

Definisjon

Et indreprodukt på et vektorrom ${\displaystyle V}$ er en funksjon som for ethvert par av vektorer ${\displaystyle \mathbf {u} }$ og ${\displaystyle \mathbf {v} }$ definerer en skalar ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }$, slik at funksjonen oppfyller de følgende egenskapene for alle vektorer ${\displaystyle \mathbf {u} }$, ${\displaystyle \mathbf {v} }$ og ${\displaystyle \mathbf {w} }$ i ${\displaystyle V}$ og alle skalarer ${\displaystyle k}$:

• Kompleks-konjungert symmetri: ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }}}$
• Additivitet: ${\displaystyle \langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle }$
• Homogenitet: ${\displaystyle \langle k\mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =k\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }$
• Positivitet: ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \geq 0}$,

og   ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle =0}$   hvis og bare hvis u er nullvektoren 0 = (0,0,...,0).

Definisjonen gjelder for både reelle og komplekse vektorrom. I symmetriegenskapen inngår definisjonen av kompleks konjugasjon.

Merk at indreproduktet av en vektor med seg selv ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }$ alltid er reell, slik at bruken av ulikheten i positivitetsegenskapen gir mening.

Ett og samme vektorrom kan utstyres med ulike indreprodukt, og dermed definere et flere uavhengige indreproduktrom med ulik struktur. Det Euklidske indreproduktet og det vektede Euklidske indreproduktet, omtalt i den påfølgende eksempelsamlingen, er eksempel på dette.

Egenskaper

Grunnleggende regneregler

Direkte avledet fra aksiomene fremkommer følgende regneregler. La ${\displaystyle \mathbf {u} }$, ${\displaystyle \mathbf {v} }$ og ${\displaystyle \mathbf {w} }$ være vektorer i ${\displaystyle V}$ og ${\displaystyle k}$ være en skalar. Da er:

• ${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,\mathbf {u} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {0} \rangle =0}$
• ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} +\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle }$
• ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,k\mathbf {v} \rangle =k\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }$
• ${\displaystyle \langle \mathbf {u} -\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle -\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle }$
• ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} -\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle -\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle }$

Norm, avstand og vinkler

Gitt et indreproduktrom ${\displaystyle V}$, så definerer vi normen til en vektor ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ved

${\displaystyle \|\mathbf {u} \|={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }}}$.

Avstanden ${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}$ mellom to vektorer ${\displaystyle \mathbf {u} }$ og ${\displaystyle \mathbf {v} }$ settes lik

${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|}$.

Vinkelen ${\displaystyle \theta }$ mellom to vektorer ${\displaystyle \mathbf {u} }$ og ${\displaystyle \mathbf {v} }$ begge ulik ${\displaystyle \mathbf {0} }$ defineres ved

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}}}$,

og denne vinkelen er veldefinert på grunn av Cauchy–Schwarz' ulikhet. Videre kalles to vektorer ${\displaystyle \mathbf {u} }$ og ${\displaystyle \mathbf {v} }$ «ortogonale» dersom ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0}$. Synomyner til ortogonal er «normal» og vinkelrett.

Relasjon til ytreprodukt

Hvis u og v er kolonnevektorer:

${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{bmatrix}},~\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}}$

Da er indre- og ytreproduktene av u og v:

Indreprodukt

${\displaystyle \mathbf {u} ^{T}\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}u_{1}&\dots &u_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=u_{1}v_{1}+\dots +u_{n}v_{n}}$ (skalar)

Ytreprodukt

${\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} ^{T}={\begin{bmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&\cdots &v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&\dots &u_{1}v_{n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\u_{n}v_{1}&\dots &u_{n}v_{n}\end{bmatrix}}}$ (matrise)

Ytreproduktet er også definert hvis u og v har forskjellig antall elementer. Da blir ytreproduktet en ikke-kvadratisk (?) matrise.

Eksempler

Euklidske indreprodukt

For vektorer ${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})}$ og ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})}$ i det Euklidske n-rommet kan man definere det Euklidske indreproduktet, gitt ved

${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\cdots +u_{n}v_{n}}$.

Dersom man tenker på ${\displaystyle \mathbf {u} }$ og ${\displaystyle \mathbf {v} }$ som kolonnevektorer, så har man også notasjonen

${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\mathbf {u} ^{T}\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\cdots &u_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}}$.

Vektet Euklidsk indreprodukt

Dersom ${\displaystyle A}$ er en positivt definitt symmetrisk ${\displaystyle n\times n}$ matrise får man et vektet Euklidsk indreprodukt for vektorer ${\displaystyle \mathbf {u} }$ og ${\displaystyle \mathbf {v} }$ i det Euklidske n-rommet, gitt ved:

${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle _{A}=\mathbf {u} ^{T}A\mathbf {v} }$.

Riemannsk geometri

På en mangfoldighet med riemannsk geometri eksisterer det en metrisk tensor g_μν  slik at indreproduktet mellom to vektorer u og v i samme punkt er gitt som

${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =g_{\mu \nu }u^{\mu }v^{\nu }}$

når u^μ og v^ν er de kontravariante komponentene til vektorene og man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over like indekser.

Indreprodukt på funksjonsrom

På vektorrommet av kontinuerlige funksjoner definert på et lukket begrenset intervall ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ kan man definere indreproduktet mellom ${\displaystyle \mathbf {f} =f(x)}$ og ${\displaystyle \mathbf {g} =g(x)}$ til å være

${\displaystyle \langle \mathbf {f} ,\mathbf {g} \rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\;dx}$

Se også

• Kryssprodukt

Litteratur

• G. Fisher, Lineare Algebra, Springer Spektrum, Wiesbaden (2008). ISBN 978-3-658-03944-8.
• M.R. Spiegel, S. Lipschutz and D. Spellman, Vector Analysis (Schaum’s Outlines), McGraw Hill, New York (2009). ISBN 978-0-07-161545-7.