Norm (matematikk)

En norm er i matematikk en funksjon som tilordner en lengde til enhver vektor i et vektorrom. Lengden er en reell skalar og vil være positiv for alle vektorer, bortsett fra for nullvektoren, som har lengde lik null.

Et vektorrom er en spesiell type metrisk rom, der en i tillegg til avstandsmålet i et metrisk rom også har formalisert begrepet lengde av individuelle elementer i rommet. I og med at normen introduserer et avstandsmål i rommet, vil normen også introdusere en topologi i rommet.

Et vektorrom der det er definert en norm kalles et normert rom eller et normert vektorrom. Et gitt vektorrom kan være utgangspunkt for en rekke forskjellige normerte rom, alt etter hvilken norm som defineres i rommet.

Dersom alle Cauchyfølger i rommet konvergerer mot en grense som også ligger i rommet, sies vektorrommet å være komplett. Et komplett normert vektorrom kalles et Banachrom.

La ${\displaystyle V}$ være et vektorrom over en kropp ${\displaystyle \mathbb {K} }$, der ${\displaystyle \mathbb {K} }$ er enten ${\displaystyle \mathbb {R} }$ eller ${\displaystyle \mathbb {C} }$. En norm på ${\displaystyle V}$ er en funksjon ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert :V\to [0,\infty )}$ slik at

1. ${\displaystyle \lVert x\rVert \geq 0}$ for alle ${\displaystyle x\in V}$ med likhet hvis og bare hvis ${\displaystyle x=0}$;
2. ${\displaystyle \lVert \alpha x\rVert =|\alpha |\lVert x\rVert }$ for alle ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {K} }$ og alle ${\displaystyle x\in V}$;
3. ${\displaystyle \lVert x+y\rVert \leq \lVert x\rVert +\lVert y\rVert }$ for alle ${\displaystyle x,y\in V.}$

Den siste ulikheten kalles trekantulikheten.

En vilkårlig norm vil alltid oppfylle relasjonen

${\displaystyle \|x-y\|\geq |\;\|x\|-\|y\|\;|\,}$,

som kalles den omvendte trekantulikheten.

To normer || ||₁ og || ||₂ definert i samme vektorrom sies å være ekvivalente dersom det eksisterer konstanter m og M slik at

${\displaystyle m\|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq M\|x\|_{2}\,}$

En velkjent norm for vektorrommene R² og R³ er den såkalte euklidske normen. Definisjonen av denne normen samsvarer med det man normalt vil forbinde med lengden av en vektor eller et linjestykke.

For en vektor v = (x, y) i planet R² er den euklidske normen definert ved

${\displaystyle \|v\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$.

For en vektor v = (x, y, z) i det tre-dimensjonale rommet R³ er den euklidske normen definert ved

${\displaystyle \|v\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$.

Mer generelt kan en definere en euklidsk norm som en norm avledet fra et indreprodukt:

${\displaystyle \|v\|=<v,v>^{1/2}\,}$.

Det euklidske rommet er utstyrt med en euklidsk norm, sammen med et indreprodukt.^[1]

For vektorrommet R^k, der k er et vilkårlig positivt heltall, vil en vektor kunne skrives på forma

${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},.....,x_{k})\,}$,

der x_i er koordinatene i rommet. For et slikt koordinatrom kan en definere en familie av normer kalt p-normer eller også Hölder-normer:

${\displaystyle \|x\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{k}|x_{i}|^{p}}}\qquad p\geq 1}$.

Den euklidske normen er identisk med 2-normen. Den følgende normen regnes som et spesilatilfelle i familien, ved å la p gå mot uendelig:

${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max\{x_{i}\,|\,1\leq i\leq k\}}$

Figuren til høyre viser området i R² definert av enhetssirkelen ${\displaystyle \|x\|_{n}=1}$ for ulike verdier av n.

Trekantulikheten for disse normene er et spesialtilfelle av Minkowskis ulikhet:^[2]

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{k}|x_{i}+y_{i}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{k}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{i=1}^{k}|y_{i}|^{p}\right)^{1/p}}$

Vektorrommet av funksjoner f (t ) definert på intervallet mellom 0 og 1, og med egenskapen

${\displaystyle \int _{0}^{1}|f(t)|^{p}dt<\infty \qquad 1\leq p<\infty }$

kan utstyres med normen

${\displaystyle \|f(t)\|_{p}=\left[\int _{0}^{1}|f(t)|^{p}dt\right]^{1/p}}$

Det normerte rommet som defineres på denne måten betegnes ofte med L_p[0,1].

En lineær transformasjon ${\displaystyle T:V\to W}$ mellom normerte vektorrom sies å være begrenset dersom det eksistere en konstant ${\displaystyle K}$ slik at

${\displaystyle \|Tv\|\leq K\|v\|\quad {\text{for alle }}v\in V.}$

Den minste mulige slike ${\displaystyle K}$ kalles operatornormen til ${\displaystyle T.}$ Definisjonen kan også uttrykkes ved

${\displaystyle \|T\|=\sup _{v\neq 0}{\frac {\|Tv\|}{\|v\|}}=\sup _{\|v\|=1}\|Tv\|}$.

Siden en matrise representerer en linær transformasjon mellom endelig-dimensjonale rom, gjelder definisjonen av en norm for generelle lineære transformasjoner også for en matrise. Basert på denne generelle definisjonen kan en lage en rekke ulike normer for matriser, og noen av disse opptrer under flere alternative navn. Et velkjent eksempel er 2-normen, også kalt euklidsk norm, Froebenius-norm, Hilbert-Schmidt-norm og Schur-norm:^[3]

${\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {tr(A^{H}A)}}\,}$

• Euklidsk geometri
• Ikke-euklidsk geometri

• Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6. 

•  (en) Vector norms – kategori av bilder, video eller lyd på Commons