Illustrasjon av hvordan verdiene til den sfærisk harmoniske funksjonen Yℓm(θ,φ) for ℓ = 3 varierer på kuleflaten.
Sfærisk harmoniske funksjoner er spesielle funksjoner definert på overflaten til en kule. De kalles derfor ofte for kuleflatefunksjoner. Når Laplace-operatoren uttrykkes i kulekoordinater, er de egenfunksjoner til den vinkelavhengige delen av operatoren. På den måten spiller de en viktig rolle i løsning av mange partielle differensialligninger. Dette gjelder også for løsninger av Schrödinger-ligningen slik at funksjonene dermed bidrar til forståelse av egenskapene til atomer og molekyler.
Trigonometriske funksjoner er periodiske i vinkelkoordinaten på en sirkel. De kalles derfor alternativt for «sirkelfunksjoner». På tilsvarende vi er de sfærisk harmoniske funksjonene periodiske i de to koordinatene på en kuleflate. Betegnelsen «harmonisk» skyldes at de opptrer i løsningene av Laplace-ligningen når denne uttrykkes i kartesiske koordinater x, y og z. Løsningene av denne ligningen er da homogene polynom i disse tre variable og sies å være harmoniske. De sfærisk harmoniske funksjonene fremkommer når disse polynomene uttrykkes i kulekoordinater r, θ og φ som også omtales som «sfæriske koordinater».
Rent matematisk danner funksjonene grunnlaget for representasjoner av rotasjonsgruppen SO(3) i tre dimensjoner. Mer fysisk fremkommer de på tilsvarende vis ved kvantisering av dreieimpuls i kvantemekanikken.
Definisjon
De kartesiske koordinatene x, y og z kan uttrykkes ved kulekoordinater som og Laplace-operatoren i tre dimensjoner tar dermed formen
Løsninger av Laplace-ligningen kan da skrives som et produkt av en radiell del og en angulær del. Hvis denne siste delen skal være kontinuerlig og periodisk i begge sine koordinater, må den oppfylle den partielle differensialligningen
hvor ℓ er et heltall. Samtidig må indeksen m ligge i intervallet - ℓ ≤ m ≤ ℓ og tar derfor 2ℓ + 1 forskjellige verdier. Løsning av ligningen er de sfærisk harmoniske funksjonene.[1]
Beregning
Grafisk fremstilling av realdelen til de første kuleflate-funksjonene. Rødt og grønt indikerer positive eller negative verdier, mens avstand fra origo angir størrelsen.
Fra formen til differensialligningen som definerer kuleflatefunksjonene, følger at dens løsninger må kunne skrives som et produkt av to funksjoner,
Disse må igjen tilfredsstille hver sin egen differensialligning. Den første er
som har løsninger av formen eller reelle kombinasjoner av to slike. For at må m være et heltall. Samtidig må den andre funksjonen oppfylle
Denne differensialligningen definerer de assosierte Legendre-polynomene På denne måten finner man at de sfæriske harmoniske funksjonene kan skrives som
når de normeres ved integralet
over hele kuleflaten. Da funksjonene er komplekse, er her konvensjonen
benyttet. I litteraturen forekommer også andre konvensjoner.[2]
Eksempel
De første sfærisk harmonisk funksjoner fra ℓ = 0 til og med ℓ = 3:
Yℓm
ℓ = 0
ℓ = 1
ℓ = 2
ℓ = 3
m = −3
m = −2
m = −1
m = 0
m = 1
m = 2
m = 3
Noen egenskaper
På en kuleflate med koordinater danner de sfærisk harmoniske funksjoner et «komplett sett». Det betyr at en vilkårlig funksjon kan utvikles i en uendelig rekke som
En variant av den vanlige cosinussetningen i planet eksistrer også på en kuleflate med sfærisk geometri. Der kan man angi et punkt med enhetsvektoren n i retning punktet (θ, φ). For to forskjellige retninger n og n' som danner vinkelen γ, gjelder da setningen
Ved å benytte at kuleflatefunksjonene utgjør et fullstendig sett, kan man da utlede den viktige forbindelsen
med Legendre-polynom. Den kalles for addisjonsteoremet for sfærisk harmoniske funksjoner og har mange anvendelser.[1]
Kvantemekanikk
En partikkel i posisjon r og med impuls p har i klassisk mekanikk dreieimpulsenL = r × p. I en kvantemekanisk beskrivelse blir impulsen erstattet med en operatorp → -iħ∇ der ħ er den reduserte Planck-konstanten. På denne måten blir også dreieimpulsen en operator
Den kan kvantiseres ved bruk av komponentene sammen med Ved bruk av kulekoordinater tar disse tre operatorene formen
Kvadratet av den totale dreieimpuls finnes da som
Fra definisjonen av kuleflatefunksjonene ser man herav at de er egenfunksjoner til de to operatorene og
Indeksen ℓ er derfor et kvantetall som angir størrelsen tilden totale, kvantiserte dreieimpuls. Den blir derfor ofte omtalt som det «orbitale kvantetallet». Da indeksen m samtidig gir egenverdien til dreieimpulsen langs z-aksen som ofte sammenfaller med retningen til et ytre magnetfelt, kalles denne vanligvis for det «magnetiske kvantetallet».[4]
Rotasjonsmatriser
En egentilstand til dreieimpulsoperatoren kan skrives som en ketvektor De sfærisk harmoniske funksjonene kan da betraktes som bølgefunksjoner
hvor α = (α,β,γ) er de tre eulervinklene som definerer rotasjonen. Bølgefunksjonene til systemet vil da forandres og finnes fra
etter å ha innført rotasjonsmatrisene
til Eugene Wigner. De kan eksplisitt beregnes for hver verdi av det orbitale kvantetallet ℓ og har dimensjon (2ℓ +1)×(2ℓ + 1). For ℓ = 1 kan de finnes uten bruk av kvantemekanikk da de tilsvarer rotasjon av en tredimensjonal vektor.[4]