Sobolev-rom

Innen matematikk er Sobolev-rom et funksjonsrom som består av funksjoner som tilhører et ${\displaystyle L^{p}}$-rom, og hvis deriverte, opp til en viss orden og forstått som svake deriverte, også tilhører dette rommet. Intuitivt er Sobolev-rom funksjonsrom som har tilstrekkelig mange deriverte til å gi det teoretiske grunnlaget for visse anvendelser, der spesielt løsning av partielle differensialligninger er sentralt. Dette kommer av at flere viktige ligninger har løsninger som eksisterer i Sobolev-rom, men ikke i rom av kontinuerlige funksjoner der de deriverte er forstått på vanlig måte (sterke deriverte). Sobolev-rom er også viktige i det teoretiske grunnlaget for elementmetoden, som brukes for å finne numeriske løsninger av partielle differensialligninger.

Sobolev-rom tilordnes en norm definert som en sum av ${\displaystyle L^{p}}$-normen av funksjonen i seg selv og dens (svake) deriverte. Et Sobolev-rom er dermed et normert rom, og også komplett, hvilket gjør det til et Banach-rom. For ${\displaystyle p=2}$, altså der funksjonene og deres deriverte er ${\displaystyle L^{2}}$-funksjoner, er det også et indreproduktrom og dermed et Hilbert-rom. Sobolev-rom er oppkalt etter den russiske matematikeren Sergei Sobolev.

Definisjon

La ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ for ${\displaystyle n\geq 1}$, ${\displaystyle s}$ et ikke-negativt heltall og ${\displaystyle p}$ et tall slik at ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$. Sobolev-rommet ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$ består av alle lokalt deriverbare funksjoner ${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {R} }$ slik at for alle multiindekser ${\displaystyle \alpha }$ slik at ${\displaystyle |\alpha |\leq k}$, eksisterer de (svake) deriverte ${\displaystyle D^{\alpha }u}$ og tilhører ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$.^[1]

Dersom ${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}$ definerer vi den tilhørende normen til å være^[2]

${\displaystyle ||u||_{W^{k,p}(\Omega )}={\begin{cases}\sum _{|\alpha |\leq k}{\Big (}\int _{\Omega }|D^{\alpha }u|^{p}dx{\Big )}^{1/p}\qquad {\text{hvis }}1\leq p<\infty \\\sum _{|\alpha |\leq k}\operatorname {ess} \sup _{\Omega }|D^{\alpha }u|\qquad {\text{hvis }}p=\infty \end{cases}}}$

der

${\displaystyle D^{\alpha }={\frac {\partial u^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}...\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$

for en vektor ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},...\alpha _{n})}$ der hver indeks igjen er et ikke-negativt heltall og ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\leq k}$.

Normen over er ekvivalent med normen

${\displaystyle ||u||_{W^{k,p}(\Omega )}=\sum _{|\alpha |\leq k}||D^{\alpha }||_{L^{p}(\Omega )}}$

for ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$.^[3]

Egenskaper

Lineære egenskaper

La ${\displaystyle u,v\in W^{k,p}(\Omega )}$, og ${\displaystyle |\alpha |\leq k}$. Da gjelder^[4]

1. ${\displaystyle D^{\alpha }u\in W^{k-|\alpha |,p}(\Omega )}$
2. ${\displaystyle D^{\beta }(D^{\gamma }u)=D^{\gamma }(D^{\beta }u)=D^{\gamma +\beta }u}$ dersom ${\displaystyle \beta }$ og ${\displaystyle \gamma }$ er multiindekser slik at ${\displaystyle |\beta |+|\gamma |\leq k}$
3. Hvis ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {R} }$ er også ${\displaystyle \lambda u+\mu v\in W^{k,p}(\Omega )}$
4. Hvis ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {R} }$ er ${\displaystyle D^{\alpha }(\lambda u+\mu v)=\lambda D^{\alpha }(u)+\mu D^{\alpha }v}$
5. Hvis ${\displaystyle A}$ er en åpen delmengde av ${\displaystyle \Omega }$ er ${\displaystyle u\in W^{k,p}(A)}$
6. Dersom ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U)}$ (mengden av uendelig deriverbare funksjoner med kompakt støtte i U) er også ${\displaystyle fu\in W^{k,p}(\Omega )}$, og

   ${\displaystyle D^{\alpha }(fu)=\sum _{\beta \leq \alpha }{\alpha \choose \beta }D^{\beta }fD^{\alpha -\beta }u}$ (Leibniz' formel).

Kompletthet

For enhver ${\displaystyle k=1,2,...}$ er Sobolev-rommet ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$ komplett, og dermed et Banach-rom.^[5]

Utvidelser

Under visse betingelser kan funksjoner i et Sobolev-rom ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$, der ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ utvides til å også være funksjoner i Sobolev-rommet ${\displaystyle W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}$, altså fra en begrenset mengde til en ubegrenset mengde. Disse betingelsene er gitt i utvidelsesteoremet, og er nødvendig for å bevise flere av Sobolev-ulikhetene.

Utvidelsesteoremet

Dersom ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ er begrenset og randen ${\displaystyle \partial \Omega }$ er kontinuerlig (i ${\displaystyle C^{1}}$). Da finnes det en begrenset lineær operator E

${\displaystyle E:W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}$

slik at for enhver ${\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$, er

${\displaystyle Eu=u}$ nesten overalt i ${\displaystyle \Omega }$,

og

${\displaystyle ||Eu||_{W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C||u||_{W^{1,p}(\Omega )}}$

der ${\displaystyle C}$ er en konstant avhengig av ${\displaystyle p}$ og ${\displaystyle \Omega }$. E kalles for utvidelsen av ${\displaystyle u}$ til ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.^[6]

Traser

I flere tilfeller er det interessant å studere randen av ${\displaystyle \Omega }$, og (hvis de ikke allerede er definert) tilordne verdier til u langs denne. Dersom u er kontinuerlig i ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ (tillukningen av den åpne mengden ${\displaystyle \Omega }$) har den allerede slike verdier; en generell ${\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$ kan imidlertid generelt være diskontinuerlig, og vil heller ikke nødvendigvis være definert på (hele) randen. Som for utvidelser kan man gjøre dette under visse (lignende) betingelser.

Traseteoremet

Anta at ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$, og at ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ er begrenset og at randen ${\displaystyle \partial \Omega }$ er kontinuerlig (i ${\displaystyle C^{1}}$). Da finnes det en begrenset lineær operator

${\displaystyle T:W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )}$

slik at

1. ${\displaystyle Tu=u|_{\partial U}}$ dersom ${\displaystyle u\in C({\overline {\Omega }})}$

og

1. ${\displaystyle ||Tu||_{L^{p}(\partial U)}\leq C||u||_{W^{1,p}(\Omega )}}$

for alle ${\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$, der C er en konstant avhengig av ${\displaystyle p}$ og ${\displaystyle \Omega }$. T kalles for sporet til ${\displaystyle u}$ på ${\displaystyle \partial \Omega }$.^[7]

Sporet T er altså sammenfallende med verdiene u allerede har dersom u er kontinuerlig i tillukningen av ${\displaystyle \Omega }$, og normen er begrenset oppad av en konstant multiplisert med normen til u i ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$.

Traser med verdi 0

Anta at ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ er begrenset og at randen ${\displaystyle \partial \Omega }$ er kontinuerlig (i ${\displaystyle C^{1}}$), samt at ${\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$. Da er

${\displaystyle u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )}$ hvis og bare hvis ${\displaystyle Tu=0}$ på ${\displaystyle \partial \Omega }$.^[8]

Her betegner ${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$ mengden av alle funksjoner ${\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$ som er slik at det finnes en følge ${\displaystyle \{u_{m}\}_{m=1}^{\infty }}$ av uendelig deriverbare funksjoner med kompakt støtte (${\displaystyle u_{m}\in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ for alle m) som konvergerer til ${\displaystyle u}$ med hensyn på normen ${\displaystyle ||\cdot ||_{W^{1,p}(\Omega )}}$.^[9]

Sobolev-ulikhetene

Sobolev-ulikhetene er en klasse ulikheter som beskriver hvordan relasjonen mellom n, p og k sier noe om hvilke Sobolev-rom som er inneholdt i andre Sobolev- og ${\displaystyle L^{p}}$-rom.

For ${\displaystyle 1\leq p<n}$ kan man definere den Sobolev-konjugerte av p til å være^[10]

${\displaystyle p^{*}:={\frac {np}{n-p}}}$

hvilket brukes gjennomgående i flere av ulikhetene under.

For to Banach-rom ${\displaystyle X,Y}$ slik at ${\displaystyle X\subset Y}$ sier vi at X er kompakt embeddet i Y dersom^[11]

1. ${\displaystyle ||u||_{y}\leq C||u||_{X}}$ for alle ${\displaystyle u\in X}$, for en konstant ${\displaystyle C}$, og
2. for hver begrenset følge ${\displaystyle \{u_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ i X har denne en konvergent delfølge:

   ${\displaystyle \lim _{j\to \infty }||u_{k_{j}}-u||_{Y}=0}$.

Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-ulikheten

Anta at ${\displaystyle 1\leq p<n}$. Da finnes en konstant C (kun) avhengig av p og n slik at

${\displaystyle ||u||_{L^{p*}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C||Du||_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}}$

for alle ${\displaystyle u\in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$.

Her betegner ${\displaystyle C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ rommet av alle kontinuerlige funksjoner ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ med kompakt støtte. Denne ulikheten ble bevist for ${\displaystyle 1<p<\infty }$ av Sergei Sobolev, og for ${\displaystyle p=1}$ både av Emilio Gagliardo og Louis Nirenberg (uavhengig av hverandre).^[10][12]

Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-ulikheten impliserer at dersom ${\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$ er slik at ${\displaystyle Du=0}$ nesten overalt i ${\displaystyle \Omega }$, så er også ${\displaystyle u=0}$ nesten overalt i ${\displaystyle \Omega }$. Videre impliserer det også at for alle ${\displaystyle q\in [1,p*]}$ gjelder ulikheten

${\displaystyle ||u||_{L^{q}(\Omega )}\leq C||Du||_{L^{p}(\Omega )}}$

der C er en konstant (kun) avhengig av ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle n}$ og ${\displaystyle |\Omega |}$.^[13][14]

Morreys ulikhet

Anta at ${\displaystyle n<p<\infty }$. Da finnes det en konstant C, avhengig av (kun) p og n, slik at

${\displaystyle ||u||_{C^{0,\gamma }(\mathbb {R} ^{n})}\leq C||u||_{W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}}$

for alle ${\displaystyle u\in C^{1}(\mathbb {R} )}$, der ${\displaystyle ||\cdot ||_{C^{0,\gamma }}}$ angir Hölder-normen med eksponent ${\displaystyle \gamma }$, og ${\displaystyle \gamma }$ er gitt ved

${\displaystyle \gamma :=1-{\frac {n}{p}}}$.

Hvis ${\displaystyle u\in W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}$, så er ${\displaystyle u}$ altså også Hölder-kontinuerlig med eksponent ${\displaystyle \gamma }$, gitt at man eventuelt tilordner verdier ti l ${\displaystyle u}$ over en mengde med mål 0.^[15]

Rellichs og Kondrachovs kompakthetsteorem

Anta at U er en begrenset, åpen delmengde av ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ og at randen ${\displaystyle \partial U}$ er kontinuerlig. Anta videre at ${\displaystyle 1\leq p<n}$. Da er ${\displaystyle W^{1,p}(U)}$ en kompakt embeddet i ${\displaystyle L^{p}(U)}$ for alle ${\displaystyle q\in [1,p^{*})}$.^[11]

Referanser

Litteratur

• Lawrence C. Evans (2010). Partial Differential Equations. 19 (2 utg.). USA: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4974-3. 
• Juha Kinnunen (2020). «Sobolev spaces» (PDF). Besøkt 13. mai 2020.