Alternatywa Fredholma

Alternatywa Fredholma – w analizie funkcjonalnej, twierdzenie dotyczące istnienia i jednoznaczności równań liniowych w przestrzeniach Banacha. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Erika Fredholma, który udowodnił je w kontekście równań całkowych na przestrzeni Hilberta.

Alternatywa Fredholma jest uogólnieniem na nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha następującego faktu dotyczącego algebry liniowej. Dla danego przekształcenia liniowego ${\displaystyle A\colon V\to V}$ na ${\displaystyle n}$-wymiarowej przestrzeni liniowej zachodzi dokładnie jedna z możliwości:

• ${\displaystyle A}$ jest odwzorowaniem suriektywnym,

  dla każdego ${\displaystyle y\in V}$ istnieje taki element ${\displaystyle x\in V,}$ że ${\displaystyle Ax=y;}$

• ${\displaystyle A}$ nie jest odwzorowaniem różnowartościowym,

  istnieje taki niezerowy element ${\displaystyle v\in V,}$ że ${\displaystyle Av=0.}$

Niech ${\displaystyle X}$ będzie zespoloną przestrzenią Banacha, ${\displaystyle T\colon X\to X}$ będzie liniowym operatorem zwartym oraz ${\displaystyle \lambda }$ niezerową liczbą zespoloną. Wówczas równanie

${\displaystyle Tx-\lambda x=y}$

ma rozwiązanie dla każdego ${\displaystyle y\in X}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jedynym rozwiązaniem równania

${\displaystyle Tx-\lambda x=0}$

jest ${\displaystyle x=0}$^[1]. Innymi słowy, równanie ${\displaystyle y=Tx-\lambda x}$ ma rozwiązanie dla każdego ${\displaystyle y\in X}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \lambda }$ nie jest wartością własną operatora ${\displaystyle T.}$

Oznaczając ${\displaystyle S=T-\lambda \cdot I_{X},}$ gdzie ${\displaystyle I_{X}}$ to operator identycznościowy na ${\displaystyle X,}$ powyższe jest równoważne temu, że

• albo operator ${\displaystyle S}$ jest suriektywny,
• albo operator ${\displaystyle S}$ nie jest różnowartościowy.

• Przypadek, gdy ${\displaystyle \lambda }$ nie jest wartością własną operatora ${\displaystyle T\colon X\to X.}$ W tym przypadku istnieje taka liczba ${\displaystyle c>0,}$ że operator ${\displaystyle T-\lambda \cdot I_{X}}$ jest ograniczony z dołu przez ${\displaystyle c,}$ tj.

${\displaystyle \|Tx-\lambda x\|\geqslant c\|x\|\quad (x\in X).}$

Rzeczywiście, ze względu na dodatnią jednorodność normy wystarczy wykazać powyższe stwierdzenie dla wektorów o normie 1. Gdyby tak nie było, istniałby ciąg wektorów jednostkowych ${\displaystyle (x_{n})}$ w ${\displaystyle X,}$ że ciąg ${\displaystyle (Tx_{n}-\lambda x_{n})}$ jest zbieżny do zera. Ponieważ ${\displaystyle \|\lambda x_{n}\|=|\lambda |,}$ infimum norm elementów ${\displaystyle y_{n}=Tx_{n}}$ jest dodatnie. Ponieważ operator ${\displaystyle T}$ jest zwarty, ciąg ${\displaystyle (y_{n})}$ ma podciąg ${\displaystyle (y_{n_{k}})}$ zbieżny do pewnego niezerowego elementu ${\displaystyle y\in X.}$ Z uwagi na to, że ciąg ${\displaystyle (Tx_{n}-\lambda x_{n})}$ jest zbieżny do zera, ciąg ${\displaystyle (Ty_{n_{k}}-\lambda y_{n_{k}})}$ jest również zbieżny do zera, a więc z ciągłości, ${\displaystyle Ty-\lambda y=0,}$ co przeczy temu, że ${\displaystyle \lambda }$ nie jest wartością własną ${\displaystyle T.}$

Ponieważ operator ${\displaystyle T-\lambda \cdot I_{X}}$ jest ograniczony z dołu, jest on izomorfizmem na swój obraz. By udowodnić, że dla każdego ${\displaystyle y\in X}$ istnieje takie ${\displaystyle x\in X,}$ że ${\displaystyle y=Tx-\lambda x,}$ należy uzasadnić, że cała przestrzeń ${\displaystyle X}$ jest obrazem operatora ${\displaystyle T-\lambda \cdot I_{X}.}$ Gdyby tak nie było, to dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle m}$ podprzestrzeń ${\displaystyle X_{m}}$ będąca obrazem operatora ${\displaystyle (T-\lambda \cdot I_{X})^{m}}$ byłaby właściwa (i domknięta). Z lematu Riesza wynikałoby istnienie takich wektorów ${\displaystyle x_{m}}$ w ${\displaystyle X}$ o normie 1, że odległość ${\displaystyle x_{m}}$ od ${\displaystyle X_{m}}$ wynosi co najmniej 1/2.

Niech ${\displaystyle m<n}$ będą liczbami naturalnymi. Wówczas ${\displaystyle Tx_{n}-\lambda x_{n},}$ jak i ${\displaystyle Tx_{m}-\lambda x_{m}}$ należą do ${\displaystyle X_{m+1},}$ tj.

${\displaystyle Tx_{m}-Tx_{n}\in \lambda x_{m}+X_{m+1}.}$

Ponieważ odległość między ${\displaystyle x_{m}}$ od ${\displaystyle X_{m}}$ wynosi co najmniej 1/2 zachodzi oszacowanie

${\displaystyle \|Tx_{m}-Tx_{n}\|\geqslant {\frac {|\lambda |}{2}},}$

które przeczy zwartości ${\displaystyle T,}$ gdyż ciąg ${\displaystyle (Tx_{n})}$ nie ma podciągu zbieżnego.

• Przypadek, gdy ${\displaystyle \lambda }$ jest wartością własną operatora ${\displaystyle T\colon X\to X}$ implikuje, że operator ${\displaystyle T-\lambda \cdot I_{X}}$ nie jest różnowartościowy ponieważ (niezerowa) wartość własna odpowiadająca ${\displaystyle \lambda }$ należy do jego jądra. W tym wypadku obrazem operatora ${\displaystyle T-\lambda \cdot I_{X}}$ nie może być cała przestrzeń ${\displaystyle X}$ (tj. operator ten nie jest suriektywny). Istotnie, z twierdzenia Schaudera o operatorze sprzężonym wynika, że operator ${\displaystyle T^{*}}$ jest również zwarty. Ponadto ${\displaystyle (T-\lambda \cdot I_{X})^{*}=T^{*}-\lambda \cdot I_{X^{*}}.}$ Gdyby ${\displaystyle T-\lambda \cdot I_{X}}$ był suriektywny, operator ${\displaystyle T^{*}-\lambda \cdot I_{X}{^{*}}}$ byłby różnowartościowy, tj. w szczególności ${\displaystyle \lambda }$ nie byłaby jego wartością własną. Z udowodnionej wyżej implikacji wynikałoby, że operator ${\displaystyle T^{*}-\lambda \cdot I_{X^{*}}}$ byłby w tym wypadku suriektywny. Oznaczałoby to, że operator ${\displaystyle T^{**}-\lambda \cdot I_{X}{^{**}}}$ jest różnowartościowy. Jest to jednak sprzeczność, ponieważ:

${\displaystyle \kappa _{X}(T-\lambda \cdot I_{X})={\big (}T^{**}-\lambda \cdot I_{X^{**}}{\big )}|_{\kappa _{X}(X)},}$

gdzie ${\displaystyle \kappa _{X}\colon X\to X^{**}}$ oznacza kanoniczne włożenie w drugą przestrzeń sprzężoną.

Pod pojęciem alternatywy Fredholma niektórzy rozumieją następujące twierdzenie, które opisuje wymiar jądra operatora ${\displaystyle I_{X}-T}$ z jego obrazem dla operatora zwartego ${\displaystyle T\colon X\to X}$ na przestrzeni Banacha ${\displaystyle X}$^[2].

Niech ${\displaystyle T\colon X\to X}$ będzie operatorem zwartym na zespolonej przestrzeni Banacha ${\displaystyle X.}$ Wówczas:

• jądro operatora ${\displaystyle I_{X}-T}$ jest skończenie wymiarowe,
• obraz operatora ${\displaystyle I_{X}-T}$ jest domknięty, ponadto

${\displaystyle \mathrm {im} (I_{X}-T)=\ker(I_{X^{*}}-T^{*})^{\perp },}$

• operator ${\displaystyle I_{X}-T}$ jest różnowartościowy wtedy i tylko wtedy, gdy jest on suriektywny (tj. jego obrazem jest cała przestrzeń ${\displaystyle X}$),
• ${\displaystyle \dim \ker(I_{X}-T)=\dim \ker(I_{X^{*}}-T^{*}).}$

• operator Sturma-Liouville'a
• równanie całkowe Fredholma
• twierdzenie Hilberta-Schmidta

• Haim Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2.
• Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vincente Montesinos Santalucía, Jan Pelant, Václav Zizler, Functional Analysis and Infinite-dimensional Geometry, CMS Books in Mathematics, 8, New York: Springer-Verlag (2001), ISBN 0-387-95219-5.