Wykres funkcji Pole obszaru zawartego między wykresem funkcji a osią jest równe
Całka Gaussa znana także jako całka Eulera-Poissona – całka z funkcji Gaussa na całej prostej. Jej nazwa pochodzi od niemieckiego matematyka i fizyka Carla Friedricha Gaussa. Jest to całka
Całka ta ma szeroki zakres zastosowań. Przy niewielkiej zmianie zmiennych jest używana do obliczania normalizacji stałej rozkładu normalnego. Ta sama całka ze skończonymi granicami jest ściśle związania zarówno z funkcją błędu, jak i dystrybuantą rozkładu normalnego. W fizyce tego typu całki pojawiają się często, np. w mechanice kwantowej, i są wykorzystywane do znajdowania gęstości prawdopodobieństwa stanu podstawowego oscylatora harmonicznego, również przy znajdowaniu propagatora dla oscylatora harmonicznego wykorzystujemy tę całkę.
Chociaż nie istnieje żadna elementarna funkcja dla funkcji błędu, co może być sprawdzone za pomocą algorytmu Rischa, to całkę Gaussa można obliczyć analitycznie. Oznacza to, że nie można wyliczyć całki nieoznaczonej
ale całka oznaczona
może zostać obliczona.
Całka Gaussa znajduje liczne zastosowania w fizyce, a liczne uogólnienia całki są stosowane w kwantowej teorii pola.
Obliczanie całki Gaussa
Przez współrzędne biegunowe
Standardowy sposób obliczania całki Gaussa, którego pomysł pochodzi od Poissona[1], wykorzystuje następujące równości
Rozważmy funkcję na płaszczyźnie i obliczmy tę całkę, korzystając z dwóch narzędzi
przez podwójne całkowanie w układzie współrzędnych kartezjańskich całka ta jest kwadratem
Wykorzystując powyższe narzędzia do obliczeń, otrzymujemy
gdzie współczynnik pochodzi z przejścia do współrzędnych biegunowych ( jest standardową miarą na płaszczyźnie wyrażoną we współrzędnych biegunowych), a podstawienie polega na wzięciu stąd
Uzyskujemy
stąd
Dowód
Aby uzasadnić całki podwójne niewłaściwe i przyrównać do siebie te dwa wyrażenia, zaczynamy od aproksymacji funkcji
Jeżeli całka
byłaby bezwzględnie zbieżna, mielibyśmy, że jej wartością główną jest granica
która pokrywa się z
Istotnie, zauważmy
Więc wyliczyliśmy całkę
przez wzięcie granicy
Biorąc kwadrat wyrażenia dostajemy
Korzystając z twierdzenia Fubiniego, powyższa całka może być postrzegana jako całka powierzchniowa
po kwadracie o wierzchołkach na płaszczyźnie
Ponieważ funkcja wykładnicza przyjmuje wartości większe od 0 dla wszystkich liczb rzeczywistych, całka po okręgu wpisanym w kwadrat musi być mniejsza niż Podobnie całka po okręgu opisanym na kwadracie musi być większa niż Całki te mogą być łatwo obliczone poprzez przejście ze współrzędnych kartezjańskich do współrzędnych biegunowych
Inna technika, pochodząca od Laplace’a (1812)[1], jest następująca. Niech
Ponieważ granica z przy zależy od znaku zmiennej to upraszcza rachunki, korzystając z faktu, że jest funkcją parzystą, zatem całka nad zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych jest po prostu podwojeniem całki od do tj.
Tak więc w całym zakresie całkowania mamy a zmienne i mają te same ograniczenia. To daje nam
Tak więc, po zmianie zmiennej zamienia się w całkę Eulera
gdzie jest funkcją gamma. To pokazuje dlaczego silnia z połowy jest rzeczywistą wielokrotnością
Ogólniej
Uogólnienia
Całka z funkcji Gaussa
Całką z funkcji Gaussa jest
Alternatywną całką jest
Całka ta jest bardzo przydatna w obliczaniu wartości oczekiwanych niektórych ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa dotyczących rozkładu normalnego. Zobacz np. wartość oczekiwanarozkładu logarytmicznie normalnego.
gdzie jest permutacją a dodatkowy czynnik po prawej stronie to suma wszystkich kombinatorycznych par z z kopii
Alternatywnie,
dla pewnej analitycznej funkcji pod warunkiem, że spełnia ona pewne ograniczenia dotyczące jej przyrostu oraz niektóre inne kryteria techniczne (to działa dla niektórych funkcji, np. wielomianów). Eksponenta pod całką jest rozumiana jako szereg potęgowy.
Podczas gdy całki funkcjonalne nie mają ścisłej definicji (lub nawet nieścisłe wyliczenie w większości przypadków), można zdefiniować funkcjonalną całkę Gaussa w sposób analogiczny jak w przypadku skończenie wymiarowym. Nadal istnieje jednak problem, że liczba jest nieskończona oraz że wyznacznik funkcyjny byłby w ogóle nieskończony. Ten problem może zostać rozwiązany, jeśli weźmiemy pod uwagę stosunek
W notacji DeWitta to równanie wygląda identycznie jak w przypadku skończenie wymiarowym.
n-wymiarowe wyrażenie liniowe
Jeżeli A jest dodatnio określoną macierzą symetryczną, to (zakładając, że wszystkie kolumny są wektorami)
Pokrewne całki
gdzie jest liczbą całkowitą dodatnią.
Łatwym sposobem na wyliczenie tej całki jest różniczkowanie pod znakiem całki
Eksponenta wielomianów wyższego stopnia może być łatwo obliczona przy wykorzystaniu szeregów. Na przykład całka z eksponenty z wielomianu stopnia czwartego jest
Zauważmy, że warunek jest słuszny, ponieważ całka od do dokłada czynnik do każdego składnika, podczas gdy całka od do dokłada do każdego składnika. Tego typu całki wykorzystuje się m.in. w kwantowej teorii pola.