Całka Riemanna-Stieltjesa, całka Stieltjesa[1] – jedno z uogólnień całki Riemanna; podał je Thomas Joannes Stieltjes.
Definicja
Całkę Riemanna-Stieltjesa funkcji rzeczywistej
względem funkcji
na przedziale
oznacza się symbolem
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/101e683cb82bc44e2cf78fbbb7d449755c9e3911)
i definiuje jako granice po wszystkich podziałach
![{\displaystyle P=\{x_{0},\ x_{1},\dots ,\ x_{n}:a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}=b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b40b10c9be37a20f769817741e274613f465b789)
o średnicach zbiegających do zera z następujących sum całkowych
![{\displaystyle S(P,f,g)=\sum _{i=0}^{n-1}f(c_{i})(g(x_{i+1})-g(x_{i})),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb6b5655dd7dfd1c116dd706841e40151cd41c04)
gdzie
Przez granicę sum całkowych rozumie się liczbę
(zwaną wartością całki Riemanna-Stieltjesa) taką, że dla każdego
istnieje liczba
taka, że dla każdego podziału
o średnicy
i dowolnych
zachodzi
![{\displaystyle |S(P,f,g)-A|<\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02e7ca860769c879eb9d999dec7c9cc0c10e979)
Całka Riemanna-Stieltjesa a całka Riemanna
Jeśli
to wprost z definicji widać, że całka
jest całką Riemanna
Prawdziwy jest ogólniejszy fakt – jeśli
jest różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny, to
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfdc9881250a858942edae24e66dd8e199190ff4)
W powyższej równości całka po prawej stronie to całka Riemanna.
Całka Riemanna-Stieltjesa a wahanie funkcji
Wprost z definicji całki Riemanna-Stieltjesa i wahania funkcji otrzymujemy następującą zależność
![{\displaystyle \int _{a}^{b}1\,dg(x)=V_{a}^{b}(g).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caadecbb391997a458510f31e301d1a9f75a92e7)
Zatem jeśli
nie ma wahania skończonego, to całka
nie istnieje. Stąd w rozważaniach nad całką Riemanna-Stieltjesa z reguły zakłada się, że
ma wahanie skończone. Jeśli
ma wahanie skończone, to jest różnicą
dwóch funkcji monotonicznych i wówczas
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dh(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,dj(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdee348aed76e37bd0ddb35a9863ef5f9eab8429)
Z tego względu często rozważa się własności całki Riemanna-Stieltjesa względem funkcji monotonicznych
by następnie, korzystając z powyższego wzoru, przejść do ogólnych rozważań.
Przypisy
- ↑ całka Stieltjesa, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-04] .
Całki
typy całek | |
---|
metody całkowania nieoznaczonego | |
---|
metody całkowania oznaczonego | |
---|
twierdzenia | |
---|