Charakterystyka Eulera
Charakterystyka Eulera, charakterystyka Eulera-Poincarégo[1][2] – niezmiennik topologiczny[3] początkowo definiowany jedynie dla wielościanów wypukłych.
Powierzchnie wielościanów wypukłych
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/54/Torus_cycles.png/200px-Torus_cycles.png)
Wprowadźmy oznaczenia:
- – liczba wierzchołków,
- – liczba ścian,
- – liczba krawędzi.
Charakterystykę Eulera, oznaczaną tradycyjnie literą dla powierzchni wielościanów wypukłych definiuje się jako[2]:
Wielościany wypukłe spełniają twierdzenie Eulera o wielościanach, co oznacza, że zachodzi wzór:
Charakterystyka Eulera powierzchni wielościanów wypukłych wynosi zatem
Własność ta została po raz pierwszy zauważona[4] (jedynie dla brył platońskich) w 1537 roku przez Francesco Maurolico w jego nieopublikowanym manuskrypcie. Następnie, dla wielościanów wypukłych własność tę zauważył Euler. Pierwszy poprawny dowód jej prawdziwości podał Legendre[5].
Wielościany dowolne
Ta sama definicja (czyli ) obowiązuje także dla innych wielościanów. Każda powierzchnia wielościanu homeomorficzna z powierzchnią wielościanu wypukłego ma charakterystykę równą 2. Nie jest to prawdą dla wszystkich powierzchni wielościanów: wszystkie powierzchnie wielościanów homeomorficzne z torusem (czyli takie, przez środek których „przechodzi dokładnie jedna dziura”) mają charakterystykę równą 0.
Definicja ogólna
Niech będzie przestrzenią topologiczną. Jej charakterystykę Eulera definiujemy jako[6]
gdzie jest rangą -tej grupy homologii (tj. -tą liczbą Bettiego) przestrzeni Definicja ta ma sens jedynie wtedy, gdy wszystkie liczby Bettiego oraz ich suma są skończone.
W przypadku, gdy jest skończonym CW-kompleksem, to jego charakterystyka Eulera jest równa
gdzie oznacza liczbę komórek wymiaru W szczególności, w przypadku kompleksów symplicjalnych oznacza liczbę -wymiarowych sympleksów.
Powierzchnie
Aby obliczyć charakterystykę Eulera powierzchni (jak i innych, wyżej wymiarowych wielościanów) wystarczy znaleźć jej rozkład komórkowy. Np. dla sfery wystarczy jedna komórka 0-wymiarowa oraz jedna wymiaru 2. Przedstawienie sfery w postaci wielościanu wymaga co najmniej 4 ścian, 4 wierzchołków oraz 6 krawędzi.
Nazwa powierzchni | Wygląd | Charakterystyka Eulera |
---|---|---|
Sfera | ![]() | 2 |
Torus | ![]() | 0 |
Wstęga Möbiusa (z brzegiem) | ![]() | 0 |
Butelka Kleina | ![]() | 0 |
Płaszczyzna rzutowa rzeczywista | 1 | |
Dwie sfery (niepołączone) | ![]() | 2 + 2 = 4 |
niepołączonych sfer |
Uogólnienia
- Jeżeli jest skończonym wielościanem, to jest równa liczbie Lefschetza identyczności[6]
- Niech będzie skończoną kategorią. Tj. taką, że liczba morfizmów (a więc i obiektów) jest skończona. Oznaczmy przez jej obiekty. Z taką kategorią możemy stowarzyszyć macierz wymiaru gdzie jest liczbą morfizmów Jeżeli istnieją takie że
- to
Powyższą sumę nazywamy charakterystyką Eulera kategorii Jest ona liczbą wymierną. Jeżeli przestrzeń klasyfikująca kategorii jest skończonym wielościanem, to jego charakterystyka Eulera jest równa[7]
Aksjomatyzacja
Charakterystykę Eulera można zdefiniować również aksjomatycznie. Dokładniej, zredukowana charakterystyka Eulera (tj. charakterystyka minus 1) jest jedyną[8][9] całkowitoliczbową funkcją określoną na zbiorze klas homeomorfizmów skończonych wielościanów (z punktem bazowym) spełniającą warunki:
(1)
(2)
dla dowolnej pary wielościanów
Zobacz też
- genus, niezmiennik powiązany z Ch. Eulera
- krzywizna Gaussa
Przypisy
- ↑ Red. Tomasz Szemberg, Konfiguracje prostych i stożkowych, Kraków 2015, Wydawnictwo Szkolne OMEGA, ISBN 978-83-7267-632-0; s. 44, Definicja 9.1.
- ↑ a b Red. Tomasz Szemberg, Konfiguracje prostych i stożkowych, Kraków 2015, Wydawnictwo Szkolne OMEGA, ISBN 978-83-7267-632-0; s. 43–48.
- ↑ charakterystyka Eulera–Poincarégo, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-12-20] .
- ↑ M. Friedman, A History of Folding in Mathematics: Mathematizing the Margins.
- ↑ D.S. Richeson, Euler’s Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton Univ. Press (2008).
- ↑ a b E.H. Spanier, Topologia algebraiczna, Warszawa (1972).
- ↑ T. Leinster, The Euler characteristic of a category, Documenta Mathematica, 13 (2008) s. 21–49.
- ↑ Charakterystyka Eulera, czyli ewolucja wzoru Eulera dla wielościanów [online], beta-iks.pl [dostęp 2021-04-25] (pol.).
- ↑ Ch. Watts, On the Euler Characteristic of Polyhedra, Proc. Amer. Math. Soc. 13 (1962), 304-306.
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Polyhedral Formula, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-06-18].
- Britannica: topic/Euler-characteristic