Przybliżanie krzywej za pomocą łamanych, zwane rektyfikacją krzywej.
Długość krzywej w przestrzeni euklidesowej (i ogólnie w przestrzeni metrycznej) można wyznaczyć w sposób przybliżony za pomocą łamanej, złożonej z odcinków prostoliniowych, łączących wybrane punkty krzywej. Im więcej odcinków ma łamana, tym dokładniej przybliży krzywą. Długością krzywej nazywa się graniczną wartość, do jakiej zbiegają długości łamanych o rosnącej liczbie odcinków, przybliżających tę krzywą. Ściślejszą definicję, opartą na powyższym opisie, podano dalej. Nie wszystkie jednak krzywe mają tę własność, że granica taka istnieje; przykładem są krzywe fraktalne (por. krzywa Kocha, krzywa Peana itp.)
Krzywa prostowalna ma długość równą długości odcinka prostoliniowego, na który można przekształcić krzywą.
Rozwój geometrii analitycznej doprowadził do odkrycia równań parametrycznych, za pomocą których opisuje się krzywe płaskie, krzywe w przestrzeni 3-wymiarowej, a w ogólności w przestrzeniach n-wymiarowych. W konsekwencji wyprowadzono wzory na obliczanie długości tak opisanych krzywych w sposób analityczny.
W przypadku ogólnym rozważa się krzywe w przestrzeniach metrycznych nieeuklidesowych. Długości krzywych w tym wypadku określa się z uwzględnieniem tensora metrycznego.
Definicja długości krzywej w przestrzeni euklidesowej
Na krzywej zadajemy punktów ustawionych kolejno wzdłuż krzywej zaczynając od jej jednego końca i poruszając się do drugiego końca, przy czym punkty oraz umieszcza się odpowiednio na początku i na końcu krzywej. Niech oznacza sumę długości odcinków łamanej, wyznaczonej przez punkty tj.
gdzie jest długością odcinka o końcach
Jeżeli powyższa suma zmierza do ustalonej granicy dla rosnącego do nieskończoności, to graniczną wartość tej sumy nazywamy długością krzywej , tj.
Dowodzi się, że długość krzywej nie zależy od wyboru punktów łamanych, przybliżających daną krzywą
Krzywą której można w ten sposób przypisać długość, nazywa się krzywą prostowalną (lub rektyfikowalną).
W przeciwnym wypadku krzywą nazywa się nieprostowalną (nierektyfikowalną).
Parametryzacja krzywych
Efektywnego opisu krzywych dostarcza geometria analityczna. Jedną z metod opisu krzywych jest opis za pomocą równań parametrycznych.
Niech będzie krzywą w przestrzeni euklidesowej -wymiarowej (lub ogólnie: w przestrzeni metrycznej) Istnieje wtedy funkcja wektorowa jednej zmiennej nazywana parametryzacją, która każdej liczbie przypisuje wzajemnie jednoznacznie współrzędne kartezjańskie każdego punktu krzywej Oznacza to, że:
A. dla parametryzacji krzywych płaskich trzeba podać dwie funkcje parametru
B. dla parametryzacji krzywych w przestrzeni 3-wymiarowej trzeba podać trzy funkcje parametru
C. dla krzywych w przestrzeni n-wymiarowej trzeba podać funkcji parametru
Długość łuku s spirali logarytmicznej w funkcji kata θ, będącego parametrem definiującym spiralę. Długość łuku s jest parametrem naturalnym spirali.
W ogólności można opisywać krzywe za pomocą współrzędnych krzywoliniowych, jak współrzędne biegunowe, sferyczne itd.
Przykłady: parametryzacja krzywych płaskich
Elipsa
Równania parametryczne definiujące elipsę mającej środek w początku układu współrzędnych i główną oś wzdłuż osi o półosiach oraz jest funkcja mają postać
Funkcja parametrowi jednoznacznie przypisuje jeden punkt elipsy na płaszczyźnie
Spirala logarytmiczna
Linia śrubowa prawoskrętna (cos t, sin t, t) dla t od 0 do 4π; strzałki pokazują kierunek wzrostu t
Równania parametryczne spirali logarytmicznej są następujące:
gdzie – stałe, określające wymiary spirali, – parametr krzywej.
gdzie jest promieniem walca, a ilorazem prędkości ruchu punktu po tworzącej oraz prędkości kątowej obrotu walca – parametr krzywej.
Jeśli linia jest prawoskrętna; jeśli linia jest lewoskrętna.
Parametr naturalny krzywej
Jeżeli wyznaczy się zależność długości krzywej od ustalonego punktu początkowego do jej dowolnego punktu to za pomocą długości s można przedefiniować krzywą; wtedy nazywa się parametrem naturalnym krzywej.
Wzory na długości krzywych w 2D
(1)Współrzędne kartezjańskie
Jeśli krzywa płaska zadana jest funkcją która jest różniczkowalna, to rolę niezależnego parametru pełni współrzędna wtedy wzór na długość krzywej ma postać:
gdzie – pochodna funkcji względem zmiennej
(2)Współrzędne kartezjańskie i niezależny parametr
Jeżeli krzywa płaska jest sparametryzowana równaniami
gdzie funkcje i są różniczkowalne względem parametru to długość krzywej opisuje wzór[1]:
gdzie oraz – pochodne funkcji oraz względem parametru
(3)Współrzędne biegunowe
We współrzędnych biegunowych: jeżeli krzywa płaska jest wyrażona za pomocą współrzędnych biegunowych, tj. to wzór na długość krzywej ma postać:
Drugie wyrażenie odpowiada przypadkowi, gdy parametr jest równy współrzędnej kątowej, tj. wtedy
W granicach całkowania wyrażenie jest nieujemne, stąd otrzymujemy ostatecznie równość
Wzory na długości krzywych w 3D
(1) Współrzędne sferyczne
Niech będzie dana krzywa zdefiniowana za pomocą równań parametrycznych w układzie współrzędnych sferycznych, gdzie jest kątem mierzonym od dodatniej półosi oraz kątem azymutalnym. Między współrzędnymi sferycznymi a kartezjańskimi zachodzą zależności
Stąd wyprowadza się wzór na długość krzywej wyrażonej we współrzędnych sferycznych
Jeżeli krzywa dana jest przez równań parametrycznych
gdzie – punkty początkowy i końcowy krzywej, to wektor infinitezymalnego przemieszczenia wzdłuż krzywej ma postać
Długość infinitezymalnego przemieszczenia jest pierwiastkiem z iloczynu skalarnego wektora z samym sobą, tj.
Długość łuku krzywej jest równa całce z długości tych infinitezymalnych przemieszczeń, tj.
czyli ostatecznie mamy
Uwaga:
Wyżej podane wzory na długości łuku krzywej w przestrzeniach 2D i 3D są szczególnymi przypadkami powyższego, ogólnego wzoru. Mianowicie:
(a) w układzie współrzędnych biegunowych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego (por. Przykłady obliczeń tensora metrycznego)
– stąd wynika wzór (3) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych,
(b) w układzie współrzędnych sferycznych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego
– stąd wynika wzór (1) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych,
(c) w układzie współrzędnych cylindrycznych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego
– stąd wynika wzór (2) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych.
Zobacz też
Pomiaru długości krzywych w przestrzeniach nieeuklidesowych: