Forma Killinga

Forma Killinga – symetryczna forma dwuliniowa, która odgrywa fundamentalną rolę w teorii grup Liego i algebr Liego. Nazwa pochodzi od Wilhelma Killinga.

Rozważmy algebrę Liego nad polem skalarnym ${\displaystyle K.}$ Z każdym elementem ${\displaystyle x}$ algebry można powiązać sprzężony endomorfizm ${\displaystyle ad(x)}$ (zapisywany też symbolem ${\displaystyle ad_{x}}$), przypisujący danemu elementowi ${\displaystyle y}$ algebry wartość nawiasu Liego elementu ${\displaystyle x}$ elementem ${\displaystyle y,}$ tj.

${\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y].}$

Jeżeli grupa jest skończenie wymiarowa, to ślad złożenia dwóch endomorfizmów jest nazywany formą Killinga algebry Liego

${\displaystyle B(x,y)=\operatorname {trace} (\operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (y)).}$

Forma Killinga jest formą biliniową symetryczną.

Niech ${\displaystyle T^{j}}$ oznaczają elementy bazy algebry Liego. Wtedy elementy macierzowe formy Killinga są dane wzorem

${\displaystyle B^{ij}=\mathrm {tr} (\mathrm {ad} (T^{i})\circ \mathrm {ad} (T^{j}))/I_{ad},}$

gdzie ${\displaystyle I_{ad}}$ – indeks Dynkina reprezentacji algebry sprzężonej. Przy czym mamy ${\displaystyle \left({\textrm {ad}}(T^{i})\circ {\textrm {ad}}(T^{j})\right)(T^{k})=[T^{i},[T^{j},T^{k}]]=[T^{i},{f^{jk}}_{m}T^{m}]={f^{im}}_{n}{f^{jk}}_{m}T^{n}}$

– w powyższym wzorze zastosowano konwencję sumacyjną Einsteina po powtarzających się indeksach; ${\displaystyle f_{k}^{ik}}$ – stałe struktury algebry Liego. Liczba ${\displaystyle k}$ indeksuje kolumny, zaś indeks ${\displaystyle n}$ indeksuje rzędy macierzy ${\displaystyle [\mathrm {ad} (T^{i})\mathrm {ad} (T^{j})].}$ Obliczenie śladu polega na sumowaniu wyrazów o indeksach ${\displaystyle k=j}$ dlatego forma przyjmuje postać

${\displaystyle B^{ij}={\frac {1}{I_{ad}}}{f^{im}}_{n}{f^{jn}}_{m}.}$

Forma Killinga jest najprostszym tensorem 2 rzędu, który można utworzyć ze stałych struktury.

Uwaga:

W powyższej definicji trzeba odróżnić indeksy dolne od górnych, ponieważ forma Killinga może być użyta do definicji tensora metrycznego rozmaitości, a wtedy istotne staje się to odróżnienie ze względy na inne reguły transformacji indeksu górnego od indeksu dolnego tensora.

• Daniel Bump, Lie Groups (2004), Graduate Texts in Mathematics, 225, Springer-Verlag.
• Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, (1992) Cambridge University Press.
• Forma Killinga. Michiel Hazewinkel (red.). w: Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 978-1556080104. (ang.). Brak numerów stron w książce