Funkcja L Dirichleta

W analitycznej teorii liczb, szereg L Dirichleta to szereg funkcyjny postaci

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}},}$

gdzie ${\displaystyle \chi }$ jest charakterem Dirichleta modulo ${\displaystyle q,}$ a ${\displaystyle s}$ jest liczbą zespoloną, przy czym ${\displaystyle \Re (s)>1.}$ Poprzez kontynuację analityczną pojęcie powyższego szeregu można rozszerzyć na całą płaszczyznę zespoloną. Wtedy funkcję ${\displaystyle L(s,\chi )}$ nazywa się funkcją L Dirichleta^[1][2].

Funkcja zawdzięcza swoją nazwę Peterowi G.L. Dirichletowi, który wykorzystał jej własności aby pokazać, że wszystkie ciągi arytmetyczne ${\displaystyle a+nq,}$ gdzie ${\displaystyle a,q}$ są liczbami naturalnymi o największym wspólnym dzielniku równym 1, zawierają nieskończenie wiele liczb pierwszych^[1][2].

Ponieważ ${\displaystyle \chi }$ jest funkcją całkowicie multiplikatywną, funkcję L Dirichleta można przedstawić w postaci iloczynu Eulera

${\displaystyle L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{-1}}$

dla ${\displaystyle \Re (s)>1,}$ gdzie ${\textstyle \prod _{p}}$ rozumiemy jako zbieżny iloczyn po wszystkich liczbach pierwszych.