Funkcja całkowita
Ten artykuł dotyczy analizy zespolonej. Zobacz też: definicja funkcji całkowitej jako pewnej relacji w artykule o funkcji częściowej. |
Funkcja całkowita – funkcja zmiennej zespolonej, która jest analityczna na całej płaszczyźnie zespolonej. Oznacza to, że funkcję tę można rozwinąć w szereg Taylora zbieżny na całej płaszczyźnie:
- gdzie
Przykłady
Wielomiany
- Zobacz też: Wielomian.
Każdy wielomian jest całkowity i ma skończone rozwinięcie w szereg Taylora, co więcej on sam jest swoim rozwinięciem. Na przykład:
gdzie ciąg jest postaci
Funkcja eksponencjalna
- Zobacz też: Funkcja eksponencjalna.
Funkcja jest funkcją całkowitą zdefiniowaną jako
gdzie oznacza silnię.
Sinus i cosinus
- Zobacz też: Funkcje trygonometryczne.
Funkcje i są całkowite. Ich rozwinięcia w szereg Taylora są następujące:
Własności
Z definicji funkcji całkowitej wynika, iż każda funkcja całkowita jest ciągła i nieskończenie wiele razy różniczkowalna, a więc również holomorficzna.
Zobacz też
- twierdzenie Liouville’a