Funkcja jednorodna – funkcja o multiplikatywnym zachowaniu skalującym: jeżeli argument został pomnożony przez pewien współczynnik, to wynik zostanie pomnożony przez pewną potęgę tego współczynnika. Własności funkcji jednorodnych stopnia
używa się do rozwiązywania jednorodnych równań różniczkowych zwyczajnych. Pojęcie funkcji jednorodnej uogólnia się bez zmian na moduły nad pierścieniami, w tym grupy abelowe (czyli moduły nad pierścieniem liczb całkowitych).
Definicja
Niech
będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem
Funkcja
nazwana zostanie jednorodną (stopnia 1), jeżeli dla dowolnych
oraz
zachodzi
![{\displaystyle f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79be6bd64f9093829d58fc9e67ee5529eb0a848d)
Jeżeli dla
oraz
zachodzi wzór
![{\displaystyle f(a\mathbf {x} )=a^{n}f(\mathbf {x} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04d8eca19073969f60dcf429d568301e8b2c5a23)
to funkcję
nazywa się jednorodną stopnia
[1].
Jeśli funkcja
spełnia dla każdego
oraz
gdzie
jest ciałem uporządkowanym, warunek
![{\displaystyle f(a\mathbf {x} )=|a|f(\mathbf {x} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8cf86fc110cfb9caea5d994e6c78c7723c51a54)
to nazywa się ją dodatnio jednorodną.
Przykłady
- Przykładem funkcji jednorodnej jest dowolne przekształcenie liniowe (wprost z definicji), np.
ponieważ ![{\displaystyle f(a\mathbf {x} )=3(a\mathbf {x} )=a(3\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82514186de2df61d115c2f969451f9e1216f8640)
- Traktując wyznacznik
jako funkcję macierzy kwadratowych ustalonego stopnia
otrzymuje się
gdzie
jest dowolną macierzą kwadratową stopnia
[a]. - Dla dowolnej normy
(a nawet półnormy) wprost z definicji zachodzi tożsamość ![{\displaystyle \|a\mathbf {x} \|=|a|\,\|\mathbf {x} \|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263e41791f1d9088c84d29a2c436e740c9d054d9)
Zobacz też
Uwagi
- ↑ Również dla
co wynika z
-liniowości wyznacznika
traktowanego jako funkcja
wektorów
należących do przestrzeni liniowej wymiaru
Przypisy
- ↑ funkcja jednorodna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-04] .
Homomorfizmy
odmiany zdefiniowane ogólnymi własnościami | - monomorfizm
- epimorfizm
- izomorfizm
- endomorfizm
|
---|
odmiany dla konkretnych struktur | homomorfizmy | |
---|
funkcje addytywne | |
---|
inne | |
---|
|
---|
powiązane tematy | |
---|